第10课时
实际问题与方程（5）
?教学内容
教科书P79例5，完成教科书P82“练习十七”第11~15题。
?教学目标
1.学会用画线段图等方法直观、清晰地分析数量关系，结合具体情境列方程解决相遇问题。
2.培养初步的逻辑推理能力和解决稍复杂的行程问题的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3.激发学习兴趣，培养抽象思维能力，体会数学的应用价值。
?教学重点
掌握列方程解决相遇问题的方法。
?教学难点
找等量关系，掌握列方程的方法和窍门。
?教学准备
课件。
?教学过程
一、复习导入
师：以前我们学习过的行程问题中有三个量，分别是速度、时间和路程，你们还记得它们之间的关系吗？
【学情预设】速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度。
师：如果两个人同时从一段路的两端出发，相对而行，会怎样？（会相遇）今天我们就来研究如何用方程解决这一类问题。［板书课题：实际问题与方程（5）］
【设计意图】复习以前学过的有关行程问题的数量关系式，为后面的学习做好铺垫，也让学生更快地把原有知识迁移到新知识上来。
二、探索新知
1.课件出示教科书P79例5。
师：从图中可以知道哪些信息？要我们解决的问题是什么？
【学情预设】小林每分钟骑250m,小云每分钟骑200m。两人在相距4.5km的路上相向而行。要我们求两人相遇所用时间。
师:什么是相遇所用时间呢？
【学情预设】相遇所用时间是指两个人从出发到相遇所经过的一段时间。
师：这段时间内不是一个人运动，而是两个人同时运动走完这段路程。
班级活动：让两名学生上台演示相遇。
师：明白了相遇所用时间，你们能把相遇的过程用线段图画一画吗？
学生小组合作，完成线段图。指名学生上台板演画线段图。
【设计意图】通过实际的操作演示让学生有更加深刻的理解和感悟，同时活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。
2.展示交流，分析数量关系。
（1）评价学生画的线段图，引出等量关系。
师：同学们能说说这幅线段图表示的意思吗？（课件出示线段图）
【学情预设】先用一条线段表示道路全程，小林和小云分别在道路两端，现在两人同时出发，相向而行，经过一段时间行完全程在某地相遇。
师：观察线段图，大家知道了什么？
【学情预设】他们骑行的路程合起来就是两地的距离，也就是小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程。
师：你们能从中找到等量关系吗？
【学情预设】学生很容易得到等量关系：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程，在教师启发、引导下，得到另一个等量关系：每分钟两人骑的路程和×相遇时间＝全程。
（2）分析第一个等量关系。
师：先看第一个等量关系，他们各自骑行的路程能求出吗？
【学情预设】不能，因为不知道他们骑行的时间是多少。
师：他们骑行的时间一样吗？
【学情预设】一样的，因为他们是同时出发，到相遇时两人的骑行时间是一样的。
师：这个等量关系中，看起来是有两个未知量，但事实上是怎样呢？
【学情预设】事实上是只要知道了相遇所用时间，两个未知量都可以求出来，我们可以把他们骑行时间设为x，因为他们骑行的时间是一样的，用一个x就可以了。
（3）分析第二个等量关系。
师：再看第二个等量关系，每分钟两人骑的路程和知道吗？相遇所用时间呢？全程呢？
【学情预设】每分钟两人骑的路程和不知道，但是很容易求出来，全程也知道，只有相遇所用时间不知道，可以设相遇所用时间为x来解题。
3.根据分析尝试列方程解决。
师：通过前面的数量分析，两个等量关系中的未知数都是我们要求的问题，我们可以设相遇所用时间为x，请同学们独立列方程解答。
（1）学生独立解答。
（2）交流分享。
师：先说说你是根据哪个等量关系式列方程的，再说说列出的方程。
【学情预设】预设1：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程
解：设两人x分钟后相遇。
小林的速度×时间+小云的速度×时间＝全程
0.25x+0.2x＝4.5
0.45x＝4.5
0.45x÷0.45＝4.5÷0.45
x＝10
检验：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程
0.25×10+0.2×10＝4.5（km）
预设2：每分钟两人骑的路程和×时间=全程
解：设两人x分钟后相遇。
（小林每分钟骑的路程+小云每分钟骑的路程）×时间＝全程
（0.25+0.2）x＝4.5
0.45x＝4.5
0.45x÷0.45=4.5÷0.45
x＝10
检验：每分钟两人骑的路程和×时间=全程
（0.25+0.2）×10＝4.5（km）
师生交流并板书。
师：哪位同学能结合线段图说一说怎么理解两人每分钟骑的路程和再乘时间就是总路程？
【学情预设】两人每分钟骑的路程和是一段路程，两人所有时间骑行的全部路程就是总路程。
师追问：一共有几个这样的1分钟的路程和？（10个）
师：这样理解，就跟工程问题很相似，两个人每分钟共同完成了0.45km，一共要完成4.5km就需要10分钟。
【设计意图】通过线段图，对于等量关系“每分钟两人骑的路程和×时间=全程”，不容易看出来每分钟骑的路程和。通过线段图可以帮助学生加深理解，同时沟通路程问题和工程问题间的联系，从而感悟等量关系。
4.回顾反思。
师：比较这两种解法，有什么相同的地方？
引导学生进行比较，理解这两种方法都是乘法分配律在实际生活中的运用。
【设计意图】多样化的策略和方法需要教师引导学生通过一条内在的线牵引和归纳，这样才能使学生对所学的知识有一个系统的、完整的认识，以及思考更有条理，思路更清晰。
三、巩固练习
1.完成教科书P82“练习十七”第11题。
本题与教科书P79例5类似，学生独立完成，集体订正。
2.完成教科书P82“练习十七”第12题。
学生独立完成，集体订正。
师：第12题跟第11题相比有什么变化？有什么相同点？有什么不同点？
同桌之间交流解题思路。
【学情预设】相同点：都是相遇问题。数量关系都是：甲车行驶路程+乙车行驶路程=全程。不同点：所求问题不一样。第11题是求相遇所用时间，第12题是求乙车行驶的速度。
师：同学们的分析很全面！这两道题所求问题不一样，用方程来解答区别大吗？
【学情预设】不大，仅仅是设的未知数不同而已。
师：请说说你的理由。
【学情预设】因为数量关系没变，只是未知数变了。
师：用方程解决问题，只要数量关系不变，那不论求什么我们都可以以不变应万变，这就是方程的优势。
【设计意图】通过对比和分析使学生进一步体会用方程思维解决问题的优势，使学生更加深入理解方程意义以及逐步养成数学建模思想。
3.完成教科书P82“练习十七”第13题。
师：这道工程问题能不能用解相遇问题的思路去解答呢？
【学情预设】能，它和相遇问题的本质是一样的。
师：同学们互相说一说，这道题的等量关系是什么？
【学情预设】甲队工作量+乙队工作量=总工作量。
师：真棒！同学们都会举一反三了。
学生独立列出方程并解答，集体订正。
师小结：工程问题和相遇问题的思路基本相同。生活中的许多问题都可以被归纳到某一类，用同样的思路去解决。
4.完成教科书P82“练习十七”第14题。
（1）学生自己画线段图分析。
（2）展示交流。
师：我们来看看大家画的线段图，看谁画得既简单又明了。
师生交流评价，形成线段图。
（3）根据线段图列方程解答。
师：根据线段图，大家能找到怎样的等量关系？
【学情预设】乙船18小时行的路程-甲船18小时行的路程＝57.6km,甲船18小时行的路程+57.6km＝乙船18小时行的路程，乙船18小时行的路程-57.6km=甲船18小时行的路程。
师：既然知道了等量关系，就请大家来列方程解答吧。
学生尝试列方程解答并检验，集体订正。
师小结：这一类的问题可以看成是行程问题的一种变式题，不是相向而行到相遇，而是同向而行有相差。
【设计意图】这一组练习题之间递进变化关系比较明显，在教学中让学生充分利用上、下题之间的联系，提醒学生注意上、下题之间的比较，从而让学生在练习过程中获得提示、启发。
四、拓展提高
完成教科书P82“练习十七”第15题。
（1）学生尝试列出方程。
（2）交流分析。
师：大家发现了什么?
【学情预设】这个方程两边都含有x。
师：这个方程怎么解呢？
学生组内讨论试做，教师适时点拨。
【学情预设】方程两边都有x的时候，可以根据等式的性质，两边同时减去x。
3x＝x+100
3x-x＝x+100-x
2x＝100
2x÷2=100÷2
x＝50
【设计意图】帮助学生拓展解方程的思路和方法，提高学生解方程的能力。
五、课堂小结
师：同学们，这节课你们有什么收获？
师生共同小结：1.速度×时间＝路程。
2.相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程，甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝全程，（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=全程。
?板书设计
?教学反思
行程问题中的相遇问题是学生在生活中经常遇见的情境，但学生大多时候容易忽略。由此可见，学生的数学能力的获得不能仅仅只停留在书本上、课堂中，更应该让学生的视野去关注更多的实际问题。通过教科书P79例5的教学让学生认识到用方程解决实际问题的优势，从而培养学生发现数学、学习数学、运用数学的能力。
?作业设计
二、张村和李村合挖一条水渠，这条水渠全长119m。各从一端同时相向施工，7天完工。张村每天挖8.1m，李村每天挖多少米？
三、两地相距350km，甲、乙两车同时从两地出发相向而行。甲车每小时行50km，出发2.5小时后两车还差75km相遇，乙车每小时行多少千米？
四、动物王国举行运动会。乌龟和小兔赛跑，经过4分钟后，小兔超过乌龟280m，乌龟每分钟跑多少米？
参考答案
二、解：设李村每天挖xm。
(8.1+x)×7=119
x=8.9
三、解：设乙车每小时行xkm。
50×2.5+2.5x=350-75
x=60
四、解：设乌龟每分钟跑xm。
80×4-4x=280
x=10
【教学提示】
学生演示时可以把时间分割为“第一秒”“第二秒”“第三秒”……以便其他学生观察两人每一秒后距离的变化。
【教学提示】
0.25＋0.2不宜概括为“速度和”，因为在以后的数学学习中，速度为向量，向量的“和”另有定义。
【教学提示】
让学生把教科书P82“练习十七”的第11、12题这两题进行对比，使学生明确用方程解题的优势。
【教学提示】
给学生足够的时间和空间思考。第6课时
实际问题与方程（1）
?教学内容
教科书P73例1，完成教科书P73“做一做”和教科书P75“练习十六”第1~4题。
?教学目标
1.初步理解和掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法。
2.借助直观图和生活经验经历通过数量之间的等量关系列方程的过程，初步建立方程意识和建模思想，促进抽象思维的发展和提升。
3.感受数学与实际的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值和学习数学的乐趣。
?教学重点
根据题目中的数量之间的等量关系列方程。
?教学难点
根据题意分析数量之间的相等关系。
?教学准备
课件。
?教学过程
一、创设情境,导入课题
师：同学们，你们有哪些喜欢的体育运动？
请几位同学说说各自喜欢的体育运动。
师：那你们知道体育比赛中的破纪录是什么意思吗？
【学情预设】引导学生了解体育比赛中的记录是指在一定时期、一定范围内记载的最高成绩。如果在比赛中的新成绩超过这个记载的最高成绩，就是破纪录了。
师：说得对！今天我们就用方程来研究一个关于在比赛中破纪录的问题。［板书课题：实际问题与方程(1)］
【设计意图】通过与学生的互动交流，激发学生的学习兴趣，同时也为后面的学习做好铺垫。
二、合作交流，探究新知
课件出示教科书P73例1。
师：同学们先互相说一说，从图中你们知道了哪些信息？
【学情预设】小明跳远比赛的成绩是4.21m，破了学校纪录，超过原纪录0.06m。
师：那么学校的原纪录是多少米呢？
【学情预设】是4.15m。
师：你是怎么算出来的？
【学情预设】4.21-0.06＝4.15（m）。
师：用文字怎么表述呢？
【学情预设】用小明的跳远成绩减去超过纪录的部分就得到学校原跳远纪录。
师：说得真好！（竖起大拇指）这是用算术的方法解答的，还有其他的方法吗？
师可以适当引导：能不能用我们刚学过的方程去解答呢？
学生小组内说一说，然后汇报。
【学情预设】原纪录是未知数，设为xm，列方程是x+0.06＝4.21。
师：大家是根据什么来列方程的呢？
【学情预设】原纪录+超出部分＝小明的成绩。
师：大家同意吗？还有不一样的解答吗？
【学情预设】还可以设原纪录为xm，列方程为4.21-x＝0.06。
师：这又是根据什么来列方程的呢？
【学情预设】小明的成绩-原纪录＝超出部分。
师：也就是说，我们列方程的依据是题目中的等量关系，把未知的数量看成x，放入方程中去构建一个等式。
【设计意图】引导学生经历列方程的一般步骤，通过分析数量关系，找到列方程的依据。
师：现在请同学们在随堂作业本上列方程解答这道题。
指名学生板演。
【学情预设】学生第一次设未知数列方程，列方程过程中的格式、步骤不一定很规范，此时教师要加以引导。
预设1：解：设学校原跳远纪录是xm。
x+0.06＝4.21
x+0.06-0.06＝4.21-0.06
x＝4.15
预设2：解：设学校原跳远纪录是xm。
4.21-x＝0.06
4.21-x+x=0.06+x
0.06+x＝4.21
0.06+x-0.06=4.21-0.06
x＝4.15
在学生板演的基础上，师生进行交流评价，教师规范步骤和格式。
【设计意图】引导学生第一次列方程解决实际问题，充分发挥学生的主体作用，让学生自主解答。通过评价交流，规范列方程解决问题的一般步骤和格式，从而让学生掌握列方程解决问题的一般方法。
师：解答后还要做什么？
【学情预设】要检验方程的解是否正确。
师：很好！谁能说说检验过程？
指名口述检验过程，教师及时纠正或者点评。
【设计意图】让学生经历用数量关系式列方程解决实际问题的过程和方法。在这个过程中体会用方程解决问题的思维过程和思维方法，从而促使学生走出算术的思维定势，建立方程意识。
师：回顾这道题，你们用了几种不同的方法解决？
【学情预设】两种方法，算术的方法和列方程解答。
师：这两种方法有什么不同？
通过交流讨论，明确算术方法是根据问题推理解法，而列方程解答的方法是根据等量关系列出方程来解决问题。
师：用方程的思路解决问题时关键是什么？
【学情预设】找出等量关系。
师：说得真好！那用方程的思路解决问题时应该怎么做呢？
小组讨论、交流列方程解决问题的一般步骤。
课件展示列方程解决实际问题的一般步骤。
三、深化练习，巩固应用
1.完成教科书P73“做一做”。
（1）学生独立解答。
（2）展示交流，集中评价。
①交流评价第（1）题。
师：图中有哪些数学信息？它们能构成怎样的等量关系？
【学情预设】去年的身高+长高的部分＝今年的身高，今年的身高是未知数。
8cm＝0.08m
解：设小明去年的身高是xm。
x+0.08＝1.53
x+0.08-0.08＝1.53-0.08
x＝1.45
②交流评价第（2）题。
师：根据信息可以找到哪些等量关系？谁是未知数？
【学情预设】每分钟滴水量×30＝半小时滴水量，每分钟滴水量是未知数。
解：设水龙头每分钟浪费x
kg水。
30x＝1.8
x＝0.6
【设计意图】通过自主练习和反馈交流，进一步巩固列方程解决问题的步骤和方法。让学生熟练掌握分析问题、解决问题的基本步骤。
2.完成教科书P75“练习十六”第1题。
学生独立解答，教师集体订正。
师：16+8x=40等号两边要同时消去什么？用到了什么运算定律？
【学情预设】利用加法交换律后，等号两边可以同时减去16。
3.完成教科书P75“练习十六”第2题。
学生独立完成，教师订正。
订正时注意关注学生是否用算术思维逆向推理算法，鼓励学生运用顺向思维先找等量关系。
4.完成教科书P75“练习十六”第3、4题。
学生独立完成，教师集体订正时提示学生要记得检验。
【设计意图】通过具体的问题和情境，不断刺激学生原有的思维定势和方程思维的碰撞，使学生在此过程中明确两者之间的区别和联系。
四、课堂小结
师：同学们，这节课你们有哪些收获？用方程解决实际问题应该注意什么？
师生共同小结：1.找出未知数，用字母x表示。
2.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，把x放入等量关系式中构建一个方程。
3.解方程并检验作答。
?板书设计
?教学反思
本节课是学生第一次用方程解决实际问题，要让学生初步经历用等量关系式列方程的过程。在这一过程中由于学生以前的思维定势，学生在列方程的时候是有一定困惑的。教师在教学中要结合学生的生活经验，在解决实际问题的过程中构建初步的方程意识和建模思想，这样才能使学生的抽象思维能力和数学思维水平不断转变、提升。
?作业设计
三、一只猴子两个星期共吃了98根香蕉，平均每天吃几根？(用方程解，要求检验)
四、路路原来有多少枚邮票？
参考答案
三、解：设平均每天吃x根。
2×7×x=98
x=7
检验：方程左边=2×7×7=98=方程右边，
所以，x=7是方程的解。
四、解：设路路原来有x枚邮票。
x+8=48-8
x=32
【教学提示】
引导学生把图中的文字信息概括为数学数量名称，比如：4.21m即小明的跳远成绩。
【教学提示】
把等量关系式和方程紧密联系，让学生养成列方程先找等量关系的思维习惯，打破过去的算术思维定势。
【教学提示】
鼓励学生利用不同的等量关系式列方程。但要提醒学生注意，同一等量关系用加法表示更容易思考些。第7课时
实际问题与方程（2）
?教学内容
教科书P74例2，完成教科书P75~76“练习十六”第5~11题。
?教学目标
1.根据具体情境列出形如ax±b＝c的方程，初步学会列方程解决“几倍多（少）几”的实际问题。
2.在经历列方程解决实际问题的过程中发展抽象思维和方程意识，提高抽象思维能力和思维水平。
3.感受数学与实际生活的紧密联系，培养数学应用意识和良好的数学学习习惯。
?教学重点
分析稍复杂的两步实际问题的数量关系，找等量关系式列方程。
?教学难点
找出等量关系式列方程。
?教学准备
课件。
?教学过程
一、复习导入
师：上节课我们学习了如何列方程解决一些简单的实际问题，让我们来看一看上节课的学习效果如何。同学们有信心吗？
课件出示习题。艳艳家有25只鹅，比鸡多10只，鸡有多少只？
师：谁能列方程解答？
指名学生板演，集体订正。
【学情预设】解：设鸡有x只。
x+10=25
x+10-10=25-10
x=15
师：看来同学们对简单的用方程解决实际问题掌握得不错！今天我们继续研究用方程来解决一些实际问题。［板书课题：实际问题与方程（2）］
【设计意图】重温上节课的内容，唤起学生列方程解决实际问题的回忆体验，为本节课的学习做好准备。
二、探究新知
1.课件出示教科书P74例2。
师:从图中你们知道了哪些数学信息?
【学情预设】学生会说知道了足球白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。
师：可以找到怎样的等量关系？
【学情预设】预设1：黑色皮的块数×2-4＝白色皮的块数。
预设2：黑色皮的块数×2＝白色皮的块数+4。
预设3：黑色皮的块数×2-白色皮的块数＝4。
师生交流并板书。
2.列方程解答。
师：根据这些等量关系我们可以列出不同的方程，根据哪个等量关系列方程比较好？
【学情预设】根据各自的经验和思维特点，不同的学生会有不同的观点。
师：不管哪种等量关系，我们都应该设哪个量为x呢？
【学情预设】黑色皮的块数。
师：根据你所选择的等量关系，列方程解决这个问题。
学生独立列出方程并解方程，教师巡视指导。
3.组织交流，拓展思维。
师：你们列出了怎样的方程呢？我们一起来分享一下。
组织学生交流展示，说说自己是如何解答的。
【学情预设】解：设共有x块黑色皮。
预设1：2x-4＝20
2x-4+4＝20+4
2x＝24
2x÷2＝24÷2
x＝12
预设2：2x＝20+4
2x＝24
2x÷2＝24÷2
x＝12
预设3：2x-20＝4
2x-20+20＝4+20
2x＝24
2x÷2＝24÷2
x＝12
交流完毕，组织学生学习教科书上的解答方法。
【设计意图】充分尊重学生的个性思维，只要学生的思路正确，都要给予肯定。交流展示、分享资源，培养学生思维的灵活性。重点交流学生列方程的依据，以及在解方程过程中，把什么看成一个整体。突出列方程解决问题和解方程的重难点。
4.反思评价，检验结果。
师：同学们列出不同的方程解答，都得出了黑色皮的数量是12块。我们怎么才能知道这个答案是正确的呢？谁能说说检验过程？
【学情预设】把求出的黑色皮12块放入题中看，它的2倍就是24块，白色皮20块，比24块少4块，符合题目的意思。
师：很好！同学们，我们要养成做完后马上进行检验的习惯。
5.对比分析，总结提升。
师：这道题如果用算术方法解答，应该怎样思考？和列方程比较，哪种思路更简单？
【学情预设】预设1：用算术方法解答，要逆向思考。
预设2：用方程解答的思路要直接些，比较顺。
【设计意图】这道例题能让学生更好地感受列方程解决问题的优越性，通过对比突出用方程解决此类问题的特点，感受到利用顺向思维列方程解答更简便。
师：有些问题，列方程解决会比算术方法简便，你能说说列方程解决问题主要有哪些步骤吗？
学生先讨论，教师课件出示列方程解决问题的一般步骤。
【设计意图】让学生经历完整的用方程解决“几倍多（少）几”的问题的过程，并且把解决问题的方法、步骤归纳整理出来，使学生在脑海里形成一个明确而清晰的概念，这样会大大减少学生对使用方程解决问题的心理抵触程度。
三、巩固练习
1.完成教科书P75“练习十六”第5、6题。
学生互相说一说等量关系式，再独立思考列出方程并解答。教师巡视指导，最后集体订正。
2.完成教科书P76“练习十六”第7~9题。
学生独立列出方程并解答，集体订正。
【设计意图】这3道题的等量关系与教科书P74例2相似，都是未知数的几倍多几等于已知数。让学生独立解答，集中评价。
3.完成教科书P76“练习十六”第10题。
此题的题材与表现形式都富有趣味性，题目中提供了华氏温度与摄氏温度的关系，可以让学生自己代入关系式进行解答，再引导学生用“几倍多几”的语言表达两种温度之间的关系。
【学情预设】这个关系也可以说成华氏温度比摄氏温度的1.8倍还多32度。
【设计意图】这一组巩固练习的设计，除了向学生介绍一些有关实际生活的常识外，更重要的是让学生通过不同的问题和情境，不断积累解决此类问题的经验，树立学生的信心，激发学生主动运用方程解决实际问题的意识。
四、拓展提高
完成教科书P76“练习十六”第11题。
学生先独立思考，小组讨论交流，再全班展示交流。
【学情预设】预设1：(36-4a)÷8是一个除法算式，当它的结果是0时，说明被除数是0，即36-4a＝0，可以看成一个方程去解答，得到a的值。
预设2：当它的结果是1时，说明被除数与除数相等，即36-4a＝8，可以看成一个方程去解答，得到a的值。
师：你们的思路可真清晰啊！同学们都明白了吗？
学生自主完成，教师巡视指导。
五、课堂小结
师：同学们，这节课你们学到了哪些知识？
?板书设计
实际问题与方程（2）
黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数
黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4
黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4
?教学反思
列方程解决实际问题的关键是找等量关系。等量关系怎样找，需要学生从题目信息中去发现，去“翻译”，即把语言文字变成数学化的表达。因此，在课堂教学中我们要尽量让学生去感受等量关系式与题目中的语言文字的对应关系，让学生逐渐用数学的方式去阅读、理解、思考和表达。
?作业设计
一、根据题意写出等量关系。
1.果园里有苹果树32棵，比梨树的3倍少4棵，梨树有多少棵？
________×3
-
_________=________
2.元元买了12支彩笔，付给售货员20元，找回了2元，每支彩笔多少钱？
二、解方程。
3x+14=50
17+2x=45
4.5x-8.5=9.5
4x-7×0.9=1.7
三、（2019·广东广州）一条春蚕吐的丝长约1.6km，比一条秋蚕吐丝长度的1.5倍短0.2km。一条秋蚕吐的丝长约多少千米？(列方程解答)
四、在庆祝国庆70周年大阅兵时，领导指挥方队中有325名校尉军官，比将军人数的12倍还多1人。将军有多少人？
五、一棵小树苗高45cm，平均每月长高5cm，经过几个月小树苗高1m？
参考答案
一、1.梨树的棵数
4棵
苹果树的棵数
2.每支彩笔的价钱×买的支数
找回的钱数
付给售货员的钱数
二、x=12
x=14
x=4
x=2
三、解：设一条秋蚕吐的丝长约xkm。
1.5x-0.2=1.6
x=1.2
四、解：设将军有x人。
12x+1=325
x=27
五、解：设经过x个月小树苗高1m。
1m=100cm
45+5x=100
x=11
【教学提示】
教师要根据学生的练习发现存在的问题，关注学生对等量关系的寻找和分析是否正确。
【教学提示】
根据学生的实际情况，可以帮助学生画线段图找出等量关系，同时对学生找到的各种等量关系进行辨析，培养学生思维的灵活性。
【教学提示】
教师引导学生总结这一组习题等量关系的共同点，培养学生的归纳概括能力和反思意识。第8课时
实际问题与方程（3）
?教学内容
教科书P77例3，完成教科书P77“做一做”和P80“练习十七”第2~4题。
?教学目标
1.理解有关两数之积的数量关系，掌握根据具体情境列出形如a（x±b）＝c的方程来解决实际问题。
2.经历利用迁移类推的方法去解决实际问题的过程，培养方程意识和解决问题的策略方法。
3.在解方程过程中培养思维能力,感受数学学习的乐趣，树立学习数学的信心。
?教学重点
分析数量关系，会列出含有括号的方程并解答。
?教学难点
列方程解答类似两积之和或差的问题。
?教学准备
课件。
?教学过程
一、复习导入
课件出示习题。
师：大家能找出题目中的等量关系吗？
【学情预设】排球的价格×2+12=篮球的价格,喜羊羊毛绒玩具的价格×1.5-32=芭比娃娃的价格。
师：根据等量关系式，该怎样列方程呢？
学生完成后集体订正。
师：我们上节课学习了用方程解决“几倍多（少）几”的问题，今天我们继续来学习用方程解决实际问题。［板书课题：实际问题与方程（3）］
二、探索新知
1.课件出示教科书P77例3情境图。
师：从图中你们知道了哪些数学信息？要求的问题是什么?
【学情预设】学生会回答说各买了2千克的苹果和梨，共用了10.4元，梨每千克2.8元，要求苹果每千克多少元。2.列方程，展示交流。
师：同学们自己试着找出其中的等量关系，列出方程。
学生先小组内交流，再全班汇报。
（1）分析对比,列出方程。
师：大家是依据怎样的等量关系式来列方程的呢？
【学情预设】预设1：依据“苹果的总价+梨的总价=总价钱”，列出的方程是2x+2.8×2＝10.4。
预设2：依据“两种水果的单价总和×2＝总价钱”，列出的方程是（x+2.8）×2＝10.4。
预设3：依据“总价钱-苹果的总价＝梨的总价”，列出的方程是10.4-2x＝2.8×2。
预设4：依据“总价钱-梨的总价＝苹果的总价”，列出是方程是10.4-2.8×2＝2x。
师生交流并板书四个方程。
师：这四个方程哪个方程最好？为什么？
【学情预设】预设1：第一个和第二个方程都是顺向思考的，比较容易理解。
预设2：第三个方程解答起来比较麻烦。
预设3：第四个方程的未知数在右边，而且是逆向思维，思维过程比较复杂。
通过对比分析，发现前面“预设1”和“预设2”的数量关系列出的方程比较容易理解。
【设计意图】学生前面已经有根据等量关系列方程的经验，可以让学生自己去尝试解答。教师通过让学生观察思考、对比分析，使学生明确方程解决问题的思路与算术方法不一样，逐步构建学生的方程意识。
（2）解方程。
师：同学们从第一个和第二个方程中任选一个来尝试解方程。
学生独立解方程，教师进行点评。
课件展示规范的解方程过程。
师：方程2还可以怎么解？
课件出示方程2的另一种解法。
（3）沟通联系。
师：仔细观察，方程1和方程2之间有什么联系？
【学情预设】通过观察分析，引导学生发现这两种方法其实就是生活中乘法分配律的应用。
3.检验结果。
学生口头检验方程的解是否正确,教师规范学生的数学表达。
【学情预设】预设1：苹果的总价+梨的总价＝总价钱，2.4×2+2.8×2＝10.4＝总价钱。
预设2：两种水果的单价总和×2＝总价钱，（2.8+2.4）×2＝10.4＝总价钱。
【设计意图】整个教学过程让学生经历解方程过程中不同的策略选择，使学生知道解方程中要根据方程的特点和数字特点灵活选择合理的解答方法，不能生搬硬套。
三、巩固练习
1.完成教科书P77“做一做”。
数量关系与教科书P77例3类似，学生独立完成，集体订正。
2.完成教科书P80“练习十七”第2题。
学生独立完成，集体订正。
3.完成教科书P80“练习十七”第3题。
师：大家仔细观察，从图中你们了解到了哪些信息？要解决什么问题呢？
让学生列算式检验第一行的水费是否正确。检验后让学生说一说为什么这样算，并总结出等量关系式为：（本次读数-上次读数）×单价＝水费。
学生根据等量关系列出方程并解答。
师：如果用算术方法来思考解答，会容易一些还是比较麻烦？
师：看来同学们都体会到用方程解决问题的方便了。同学们可以回家去记录自己家的水表读数，查询了解单价，算一算水费是多少。
【设计意图】本题是有关水表读数的问题，考虑到小学生一般缺少实际经验，题干图中通过收费员的说明，对水费收取表的阅读难点给了解释。在解题的过程中让学生体会数学与生活的紧密联系，感受用方程解决实际问题的意义和价值。
4.完成教科书P80“练习十七”第4题。
师：图中的“两套”丛书具体是哪两套？
【学情预设】一套是《科学家》，一套是《发明家》。
学生独立解答，教师巡视后集体订正并检验。
【设计意图】这一组练习，都是要求学生在认真阅读、理解问题情境的基础上，识别解决问题的信息并找出等量关系，再列出方程解答，让学生充分感受到数学在实际生活中的应用。
四、课堂小结
师：同学们，这节课你们有哪些收获？
师生共同小结：1.列方程解决实际问题关键是找等量关系，找等量关系时尽量用顺向思维。
2.解有括号的方程可以先用运算定律转化，也可以直接解。
3.解完方程后要检验结果。
?板书设计
?教学反思
方程是小学数学课程内容中的一个十分重要的概念，它将学生的认知引向更加抽象概括的水平。教师在教学过程中不断通过各种各样的题型和生活中的实际问题与情境，让学生逐渐去克服算术思维向代数思维转变的困难。
?作业设计
一、有98匹布，正好可以做20套儿童服装和20套成人服装。每套儿童服装用布1.6匹，每套成人服装用布x匹。
关系式一：_____________+_____________=总匹数。
列方程为：____________________________________________________
关系式二：(_____________+_____________)×20=总匹数。
列方程为：____________________________________________________
三、学校电脑房要配置6个新鼠标和6个新键盘，一共用去682.8元。每个鼠标45元，每个键盘多少元？(列出两种不同的方程解答)
四、学校图书馆买来15包故事书和12包科技书，共660本。每包故事书20本，每包科技书多少本？(列方程解答)
五、3号楼302室本月的电表读数是多少千瓦时？301室上月的电表读数是多少千瓦时？
参考答案
一、20套儿童服装用布总匹数
20套成人服装用布总匹数
20×1.6+20x=98
一套儿童服装用布匹数
一套成人服装用布匹数
(1.6+x)×20=98
三、解：设每个键盘x元。
方法一：6×45+6x=682.8
x=68.8
方法二：6(45+x)=682.8
x=68.8
四、解：设每包科技书x本。
20×15+12x＝660
x＝30
五、解：设3号楼302室本月的电表读数是x千瓦时，301室上月的电表读数是y千瓦时。
0.55(x-200)=55
x=300
0.55(400-y)=13.2
y=376
【教学提示】
让学生大胆尝试，把自己的想法和思路说出来。
【教学提示】
学生如果对解方程步骤比较熟练，可以适当省略。第9课时
实际问题与方程（4）
?教学内容
教科书P78例4，完成教科书P78“做一做”和P81“练习十七”第6~10题。
?教学目标
1.初步学会解决含有两个未知数的实际问题，会设其中一个量为x，另一个量用含有x的式子表示。
2.经历解形如ax±x＝b方程的步骤和过程，掌握解此类方程的方法和策略。
3.在解方程过程中培养代数思想和符号意识，以及方程思维和方程意识，体会用方程解决问题的优势。
?教学重点
初步学会解决含有两个未知数的实际问题。
?教学难点
当有两个未知量时，如何合理假设未知数。
?教学准备
课件。
?教学过程
一、复习导入
课件出示习题。
学生独立完成，集体订正，教师巡视指导。
师：上节课我们学习了怎样用方程解决与第2题类似的实际问题，今天我们继续探索如何用方程解决新的实际问题。［板书课题：实际问题与方程(4)］
【设计意图】唤起学生已有的知识体验，为接下来学习新知识做好铺垫。
二、探究新知
1.课件出示教科书P78例4。
师：从图中你们知道了哪些数学信息？要我们解决的问题是什么？
【学情预设】学生会回答说知道地球的表面积为5.1亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。要求陆地面积和海洋面积各是多少亿平方千米。
师：这道题跟我们以前解决的问题有什么不同之处？
【学情预设】这道题目中有两个未知量，以前的题都只有一个未知量。
2.交流探讨，分析问题。
（1）分析数量关系。
师：在这个题目中，存在怎样的数量关系？
【学情预设】海洋面积+陆地面积＝地球表面积，2.4×陆地面积=海洋面积。
师：根据这个等量关系我们可以列出方程吗？
【学情预设】学生会不知道怎样设未知数x。
师：这个方程中有几个未知数？
【学情预设】有2个未知数。
师：那该怎么办呢？
（2）探究设未知数的方法。
师:现在小组内讨论，怎样解决设未知数的问题。
小组讨论后学生汇报。
【学情预设】预设1：设陆地面积为x，则海洋面积是2.4x。
预设2：设海洋面积为x，则陆地面积是x÷2.4。
预设3：设陆地面积为x，海洋面积是5.1-x。
预设4：设海洋面积为x，陆地面积是5.1-x。
师：哪一种设未知数的方法最容易理解？
【学情预设】第一种，因为根据题中“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”的信息，如果设陆地面积为x，海洋面积就很容易表示为2.4x，这样既方便也容易理解。其他的方案也可以，但是不够简便。
（3）尝试解答，汇报展示。
师：现在我们知道陆地面积和海洋面积分别用x和2.4x来表示，那怎样列方程来解答此题呢？
学生自主尝试解题，教师巡视指导。
师：你们是根据什么等量关系来列方程的呢？
【学情预设】是根据“陆地面积+海洋面积＝地球表面积”来列方程的。
解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。
x+2.4x＝5.1
(1+2.4)x=5.1
乘法分配律
3.4x＝5.1
3.4x÷3.4＝5.1÷3.4
x＝1.5
教师指名学生板书。
师：这里x＝1.5表示什么面积？（陆地面积）
师：那海洋面积如何计算？
【学情预设】有两种方法可以求出海洋面积：1.5×2.4＝3.6或者5.1-1.5＝3.6。
师：有同学列出其他的方程吗？
【学情预设】预设1：解：设海洋面积为x亿平方千米，那么陆地面积为（x÷2.4）亿平方千米。
x+x÷2.4＝5.1
预设2：解：设陆地面积为x亿平方千米，海洋面积为（5.1-x）亿平方千米。
（5.1-x）÷x＝2.4
师：这几种解法中，大家会选择哪种？为什么？
【学情预设】学生表示会选择第一种解法。
理由：①第一种解法简明易懂。②求解比较方便。
师小结：在有两个未知量的时候，我们可以把其中一个设为未知数x，另一个用含有x的式子来表示。在设未知数时，尽可能选择容易列方程和容易解的未知数为x。
3.检验结果。
请学生书写检验过程，验证解答是否正确，教师规范其格式。
三、巩固练习
1.完成教科书P78“做一做”。
学生自主解答后集体订正。教师注意指导第（2）小题。
师：这道题根据“杏树比桃树多90棵”，可以列出怎样的等量关系式？
【学情预设】杏树的棵数-桃树的棵数＝90棵，杏树的棵数-90棵=桃树的棵数，桃树的棵数+90棵=杏树的棵数。
【设计意图】“做一做”的两题分别已知两个未知数的倍数关系与和(差)，旨在启发学生举一反三。
2.完成教科书P81“练习十七”第6题。
启发学生独立思考：当鸡兔只数相同，鸡的只数可以用什么表示?(x)那鸡腿的数量怎么表示？（2x）兔子腿的数量又该怎么表示？（4x）教师巡视指导，完成后集体订正。
3.完成教科书P81“练习十七”第7题。
学生独立完成，完成后汇报，并集体检验结果，教师点评订正。
4.完成教科书P81“练习十七”第8题。
师：两个相邻的自然数都不知道到底是多少，如何设未知数呢？
【学情预设】小组交流讨论，明确相邻的两个自然数相差1。因此可以设较小的自然数为x，则另一个是（x+1）。
师：你能列出方程并解答吗？
学生独立列出方程并解答，教师指名板演。
师：结果是否正确？怎样检验？
【学情预设】48和49相邻，和也是97，结果正确。
师：同学们还有别的解法吗？
【学情预设】预设1：也可以设较大的自然数为x，另一个较小的自然数则是（x-1）。方程就是x+（x-1）＝97。
预设2：还可以用算术方法解答，较小的自然数为（97-1）÷2。
师：同学们真会思考！那你们会选择哪一种方法呢？不论哪种方法结果都一样吗？
【学情预设】学生尝试不同的解法，最后发现结果是一样的。
【设计意图】第6、7、8题都是配合例4的练习，共同点都是含两个未知数。区别在于第6题以鸡兔同笼为题材，设计为鸡兔只数相同，因此是例4的简化。第7题是已知两数的差与倍数关系，求两数的值。第8题是已知两数的和与差，求两数的值。因此都是例4的变式。特别是第8题要让学生经历用不同的解法，体会解题思路的多样化，最终得到最优策略，进一步提高学生解决问题的能力和思维水平。
5.完成教科书P81“练习十七”第9题。
学生独立完成，集体订正。
四、拓展提高
完成教科书P81“练习十七”第10题。
学生独立思考，小组讨论解法，全班汇报交流。
【学情预设】只要设两个方框内填的相同数为x，就把等式转化成了一个方程。通过解方程得到方程的解就是方框里应填的数。
师：回答得好！大家能想到把未知数换个形式，思路非常棒！
五、课堂小结
师：同学们，这节课你们有哪些收获？
师生共同总结：1.含有倍数关系的两个未知量的问题，可以先分析题意找出题目中的“一倍量”，设一倍量为x，另一个量为nx。
2.根据等量关系列出方程。
3.在解方程过程中适当用乘法分配律逆运算进行化简。
?板书设计
实际问题与方程（4）
解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。
x+2.4x＝5.1
（1+2.4）x＝5.1
乘法分配律
3.4x＝5.1
3.4x÷3.4＝5.1÷3.4
x＝1.5
1.5×2.4＝3.6（亿平方千米）或5.1-1.5＝3.6（亿平方千米）
?教学反思
在教科书P78例4的教学中，首先碰到的第一个问题是如何设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在一道题中有两个未知数，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示?这是必须突破的一个难点。在教学中让学生经历问题解决的过程以及体会其中的数学思维，让学生体验解决问题后的成功和喜悦。同时本节课要注意解决此类问题的策略和方法比较多，既要让学生进行思维拓展和思维发散，同时也要注意引导学生对不同的方法和策略进行分析、比较，以便选择最优策略。
?作业设计
三、王伯伯在果园里摘水果，所摘苹果的质量是杏的4倍。
1.苹果和杏一共摘了40kg，王伯伯摘的苹果和杏各有多少千克？
2.苹果比杏多24kg，王伯伯摘的苹果和杏各有多少千克？
四、动物园里鹤和乌龟的数量相同，鹤比乌龟少32只脚。动物园里鹤和乌龟各有几只？
六、在下面每个算式的里填入相同的数，使等式成立。
150+25×=200+15×
42×-×15-×8=57
参考答案
三、1.解：设杏有xkg。
x+4x=40
x=8
苹果：8×4=32(kg)
2.解：设杏有xkg。
4x-x=24
x=8
苹果：8×4=32(kg)
四、解：设动物园里鹤和乌龟各有x只。
4x-2x=32
x=16
六、5
5
3
3
3
【教学提示】
教师要鼓励学生积极大胆地表达自己的想法，鼓励学生多角度思考问题。
【教学提示】
练习时不要讲一题做一题，应尽量放手让学生独立完成。对基础较差的学生，可作适当提示。
