中考冲刺：研究性问题探究
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中考冲刺：研究性问题探究
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
近年，阅读理解的热门，是由于它涉及内容丰富，构思新颖别致。但这类试题内容较基本，一般难度不大。今年摆在我们面前的研究性试题较阅读理解题有较大的发展：新情景、新知识、新方法，着重考查学生的自学能力，能独立获取新知识，并运用它解决问题。研究性试题常把教学过程设计成“尝试、实验、计算、问题、猜想”的探索性过程，有利于激发学生的探索欲望，培养学生的创新能力。
二．解题策略和解法精讲
研究性问题一般是从已知的某个问题，通过联想、类比，得到与之相关的一些问题（系列问题或问题链），再通过对这些问题的研究，有时把问题推广得到一般的结论，有时由此问题类比、联想到其他方面，移植到其它问题中等等。只要在学习过程中做个有心人，研究性学习就不是高不可攀，而在这样的学习过程中，你的创新能力在不知不觉之中就得到培养与提高。
三．考点精讲
考点1：“尝试——探索”型研究性试题
例1．（2010年福建省泉州）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是 ;
（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；
②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)
（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.
【分析】（1）由相交的正反比例函数图象是中心对称图形可知：四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分于点O，故四边形ABCD的形状是平行四边形．
（2）将B点坐标代入反比例函数解析式，就求出了；再由解直角三角形就能求出的值为30°；然后由矩形的对角线相等可求出m＝2；很容易猜想到：当B（1，）或B（，1）时，BD＝AC＝4，此时四边形ABCD是矩形．
（3）只有对角线互相垂直平分时，四边形才能是菱形，但AC与BD永远不能垂直，故四边形ABCD不能形成菱形．
解：（1）平行四边形
（2）①∵点在的图象上，∴
∴
过作，则
在中，
α=30° ∴
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称
∴OB=OD= ∵四边形为矩形，且
∴ ∴；
②能使四边形为矩形的点B共有2个；
（3）四边形不能是菱形.
法一：∵点、的坐标分别为、
∴四边形的对角线在轴上.
又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.
∴对角线与不可能垂直.
∴四边形不能是菱形
法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.
所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形.
【点评】本题是代数与几何的综合题，通过中心对称性质的应用将坐标、角度、线段的长、四边形的判断等知识有机地结合起来，同时又渗透猜想、归纳、推理等辨证思维过程．试题的命制，能通过相交的正、反比例函数的图象利用x轴绕原点逆时针旋转而形成，进而通过点的坐标来探求线段的长、旋转角的度数；最后再一下转换到几何中四边形形状的判断，由共性（平行四边形）再到个性（矩形、菱形）的形状探索，代数、几何就这么和谐地结合起来，让人感到耳目一新，解起题来又觉得如沐春风，觉得带劲．
2．“实验——探索”型研究性试题
例2．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。
（1） 用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（２）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（３）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（４）要探究正ｎ边形中被垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；
【答案】解：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．
【点评】本题是以旋转操作为背景的课题学习题，尤其是在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
3．“计算——探索”型研究性试题
例3．（2010吉林）正方形与正方形的位置如图所示，点在线段或的延长线上．分别连接，得到．
（1）在图①~图③中，若正方形的边长分别为，且正方形的边长均为3，请通过计算填写下表：
正方形的边长 1 3 4
的面积
（2）若正方形的边长为，正方形的边长为，猜想的大小，并结合图③证明你的猜想．
【分析】连接，由正方形性质可知与的边上的高相等.也可根据关系式
来求得的大小．
【答案】解：（1）
正方形的边长 1 3 4
的面积
（2）猜想：.
证明：
证法1：如图，=
=.
证法2：如图，连接，由正方形性质可知
与的边上的高相等.
【点评】本题是综合考查几何证明推理能力的题目，要求学生能从复杂的图形背景中找到与所求的三角形有关的其他图形之间的关系，同时利用正方形、三角形的有关性质得出结论；同时本题是一题多解的题目，可以很好地考查学生的思维的多样性和深刻性．
4．“问题——探索”型研究性试题
例4．（2010连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的
面积等分线的有_______；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
图11
【分析】（2）设AE与BC相交于点F．观察图形可知，要证明S梯形ABCD＝S△ABE，就是要证明除去两个三角形公共部分外的两个小三角形△ABF和△CEF的面积相同．方法一：连接线段BE，△ABC和△AEC同底等高面积相等，再同时减去公共部分面积，即可说明△ABF和△CEF的面积相同；方法二：直接证明△ABF≌△ECF，也说明△ABF和△CEF的面积相同．同化与（1）可知，梯形ABCD的面积等分线即为△ADE的面积等分线，故只要作出△ADE的BD边中线即可．
（3）问题更加趋向一般，由第（2）问可知．AB与CD是否平行，不影响△ABF和△CEF的面积相同．故可依法炮制．
解：（1）中线所在的直线．
（2）法一：连接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
法二：设AE与BC相交于点F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．
又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四边形AFCD＋S△ABF＝S四边形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图①所示．
（3）能．连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
∵S△ACD＞S△ABC ，∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．作图如图②所示．
【点评】本题选取课本基础知识：三角形中线平分三角形面积、梯形剪拼成三角形实验等，设计数学实践活动情景，问题由特殊到一般，在考查基础知识综合应用的同时，兼顾考查学生知识转化能力，作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题．
5．猜想——探索”型研究性试题
例5（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 7
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。
【分析】由实际图形中数出相应的顶点数，面数及棱数，然后通过加减比较得出规律E＝V+F－2．
解；（1）6,6 V+F-E=2
（2）20
（3）这个多面体的面数是x+y,棱数为，根据V+F-E=2
可得24+（x+y）-36=2, x+y=14
【点评】本题涉及立体图形，探索规律，代数式的值等知识点，这是一道较好的图表研究性试题，要求学生在已知的表格和图形中找到相应的规律，找到规律还要善于应用规律．
四、真题演练
1．（2010河南）（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC＝nDF，求的值．
2．(2010湖南常德)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH;
②当AD=4，DG=时，求CH的长。
3．（2010 武汉，）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；
（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．
4、（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．
真题演练答案
1．解：（1）同意．连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．∴GF＝DF．
（2）由（1）知，GF＝DF．设DF＝，BC＝，则有GF＝，AD＝．
∵DC＝2DF，∴CF＝，DC＝AB＝BG＝2．∴BF＝BG+GF＝3．
在Rt△BCF中，，即．
∴．∴．
（3）由（1）知，GF＝DF．设DF＝，BC＝，则有GF＝，AD＝．
∵．∴．
∴，．
在Rt△BCF中，，即．
∴∴．
2．解：（1）成立．
四边形、四边形是正方形，
∴
∠∠.
∴∠90°-∠∠.
∴△△.
∴.
（2）①类似（1）可得△△，
∴∠1＝∠2
又∵∠＝∠.
∴∠∠＝.
即
② 解法一: 过作于,
由题意有,
∴，则∠1＝.
而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴ ，即.
在Rt中，＝＝,
而∽,∴, 即,
∴.
再连接，显然有,
∴.
3.解法一：（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得； （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=； (3)．
解法二：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，
∴△BCE△OCA，∴BE=OA，E=OAC，∴BE//OA，
∴△APD~△EPB，∴=．又∵D为OA中点，
OA=OB，∴==．∴==，∴=2．
(2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点，
∴△BCH△OCA，∴CBH=O=90，BH=OA．由=，
设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t．在Rt△BOD中，
BD==5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP，
∴===4．∴BP=4PD=BD=4t，∴BH=BP．
∴tanBPC=tanH===．
(3) tanBPC=．提示：可以获得PD=AD=1,仍有则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=．
4．（1）设与交于点D，连结，
则，
在中，，
即，
解得． …4分
（2）设与交于点E，连结，
则，
在中，
即，
解得． …4分
（3）设与交于点F，连结，
则，
在中，
即，
解得． …4分
第二部分 练习部分
1．（2010德州）探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；
(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，
求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，
x=_________，y=___________．（不必证明）
●运用 在图2中，一次函数与反比例函数
的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
2.（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S、S之间的关系为：S＝ （用含S、S的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
图（十三）
3.（2010江苏淮安）(1)观察发现
如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P
再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这
点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
题26(a)图 题26(b)图
(2)实践运用
如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
题26(c)图 题26(d)图
(3)拓展延伸
如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留
作图痕迹，不必写出作法．
练习部分答案
1.解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；
(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为
，， ，则∥∥．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
=．
∴O=．
即D点的横坐标是．同理可得D点的纵坐标是．
∴AB中点D的坐标为(，)．
归纳：，．
运用 ①由题意得
解得 EMBED Equation.3 或．
∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．
②以AB为对角线时，
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM=OP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA，OB为对角线时，
点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．------10分
2.解：（1）
（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．
3.解：（1）；
（2）如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是的中点，
所以∠AEB=15°，
因为B关于CD的对称点E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE为等边三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因为OA=OE，
所以△OAE为等腰直角三角形，
所以AE=.
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，
A
M
P
H
图12
2
1
G
F
E
D
C
A
B
图11
G
F
E
D
C
B
A
圖3
圖2
圖1
B
A
P
O
C
D
B
A
P
O
C
D
O
P
D
C
B
A
图12
M
H
F
E
C
B
D
A
G
C
B
E
F
图11
D
A
G
图110
F
E
D
C
B
A
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
F
E
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
G
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
B
C
D
P
O
E
D
C
O
P
H
A
B
（第23题 图1）
（第23题 图2）
（第23题）
图1
O
x
y
D
B
A
C
O
x
y
D
B
第图2
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
图3
A′
D′
B′
O
x
y
D
B
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
O
P
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中考冲刺：研究性问题探究
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
近年，阅读理解的热门，是由于它涉及内容丰富，构思新颖别致。但这类试题内容较基本，一般难度不大。今年摆在我们面前的研究性试题较阅读理解题有较大的发展：新情景、新知识、新方法，着重考查学生的自学能力，能独立获取新知识，并运用它解决问题。研究性试题常把教学过程设计成“尝试、实验、计算、问题、猜想”的探索性过程，有利于激发学生的探索欲望，培养学生的创新能力。
二．解题策略和解法精讲
研究性问题一般是从已知的某个问题，通过联想、类比，得到与之相关的一些问题（系列问题或问题链），再通过对这些问题的研究，有时把问题推广得到一般的结论，有时由此问题类比、联想到其他方面，移植到其它问题中等等。只要在学习过程中做个有心人，研究性学习就不是高不可攀，而在这样的学习过程中，你的创新能力在不知不觉之中就得到培养与提高。
三．考点精讲
考点1：“尝试——探索”型研究性试题
例1．（2010年福建省泉州）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是 ;
（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；
②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)
（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.
【分析】（1）由相交的正反比例函数图象是中心对称图形可知：四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分于点O，故四边形ABCD的形状是平行四边形．
（2）将B点坐标代入反比例函数解析式，就求出了；再由解直角三角形就能求出的值为30°；然后由矩形的对角线相等可求出m＝2；很容易猜想到：当B（1，）或B（，1）时，BD＝AC＝4，此时四边形ABCD是矩形．
（3）只有对角线互相垂直平分时，四边形才能是菱形，但AC与BD永远不能垂直，故四边形ABCD不能形成菱形．
解：（1）平行四边形
（2）①∵点在的图象上，∴
∴
过作，则
在中，
α=30° ∴
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称
∴OB=OD= ∵四边形为矩形，且
∴ ∴；
②能使四边形为矩形的点B共有2个；
（3）四边形不能是菱形.
法一：∵点、的坐标分别为、
∴四边形的对角线在轴上.
又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.
∴对角线与不可能垂直.
∴四边形不能是菱形
法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.
所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形.
【点评】本题是代数与几何的综合题，通过中心对称性质的应用将坐标、角度、线段的长、四边形的判断等知识有机地结合起来，同时又渗透猜想、归纳、推理等辨证思维过程．试题的命制，能通过相交的正、反比例函数的图象利用x轴绕原点逆时针旋转而形成，进而通过点的坐标来探求线段的长、旋转角的度数；最后再一下转换到几何中四边形形状的判断，由共性（平行四边形）再到个性（矩形、菱形）的形状探索，代数、几何就这么和谐地结合起来，让人感到耳目一新，解起题来又觉得如沐春风，觉得带劲．
2．“实验——探索”型研究性试题
例2．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。
（1） 用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（２）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（３）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（４）要探究正ｎ边形中被垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；
【答案】解：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．
【点评】本题是以旋转操作为背景的课题学习题，尤其是在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
3．“计算——探索”型研究性试题
例3．（2010吉林）正方形与正方形的位置如图所示，点在线段或的延长线上．分别连接，得到．
（1）在图①~图③中，若正方形的边长分别为，且正方形的边长均为3，请通过计算填写下表：
正方形的边长 1 3 4
的面积
（2）若正方形的边长为，正方形的边长为，猜想的大小，并结合图③证明你的猜想．
【分析】连接，由正方形性质可知与的边上的高相等.也可根据关系式
来求得的大小．
【答案】解：（1）
正方形的边长 1 3 4
的面积
（2）猜想：.
证明：
证法1：如图，=
=.
证法2：如图，连接，由正方形性质可知
与的边上的高相等.
【点评】本题是综合考查几何证明推理能力的题目，要求学生能从复杂的图形背景中找到与所求的三角形有关的其他图形之间的关系，同时利用正方形、三角形的有关性质得出结论；同时本题是一题多解的题目，可以很好地考查学生的思维的多样性和深刻性．
4．“问题——探索”型研究性试题
例4．（2010连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的
面积等分线的有_______；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
图11
【分析】（2）设AE与BC相交于点F．观察图形可知，要证明S梯形ABCD＝S△ABE，就是要证明除去两个三角形公共部分外的两个小三角形△ABF和△CEF的面积相同．方法一：连接线段BE，△ABC和△AEC同底等高面积相等，再同时减去公共部分面积，即可说明△ABF和△CEF的面积相同；方法二：直接证明△ABF≌△ECF，也说明△ABF和△CEF的面积相同．同化与（1）可知，梯形ABCD的面积等分线即为△ADE的面积等分线，故只要作出△ADE的BD边中线即可．
（3）问题更加趋向一般，由第（2）问可知．AB与CD是否平行，不影响△ABF和△CEF的面积相同．故可依法炮制．
解：（1）中线所在的直线．
（2）法一：连接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
法二：设AE与BC相交于点F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．
又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四边形AFCD＋S△ABF＝S四边形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图①所示．
（3）能．连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
∵S△ACD＞S△ABC ，∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．作图如图②所示．
【点评】本题选取课本基础知识：三角形中线平分三角形面积、梯形剪拼成三角形实验等，设计数学实践活动情景，问题由特殊到一般，在考查基础知识综合应用的同时，兼顾考查学生知识转化能力，作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题．
5．猜想——探索”型研究性试题
例5（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 7
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。
【分析】由实际图形中数出相应的顶点数，面数及棱数，然后通过加减比较得出规律E＝V+F－2．
解；（1）6,6 V+F-E=2
（2）20
（3）这个多面体的面数是x+y,棱数为，根据V+F-E=2
可得24+（x+y）-36=2, x+y=14
【点评】本题涉及立体图形，探索规律，代数式的值等知识点，这是一道较好的图表研究性试题，要求学生在已知的表格和图形中找到相应的规律，找到规律还要善于应用规律．
四、真题演练
1．（2010河南）（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC＝nDF，求的值．
2．(2010湖南常德)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH;
②当AD=4，DG=时，求CH的长。
3．（2010 武汉，）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；
（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．
4、（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．
真题演练答案
1．解：（1）同意．连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．∴GF＝DF．
（2）由（1）知，GF＝DF．设DF＝，BC＝，则有GF＝，AD＝．
∵DC＝2DF，∴CF＝，DC＝AB＝BG＝2．∴BF＝BG+GF＝3．
在Rt△BCF中，，即．
∴．∴．
（3）由（1）知，GF＝DF．设DF＝，BC＝，则有GF＝，AD＝．
∵．∴．
∴，．
在Rt△BCF中，，即．
∴∴．
2．解：（1）成立．
四边形、四边形是正方形，
∴
∠∠.
∴∠90°-∠∠.
∴△△.
∴.
（2）①类似（1）可得△△，
∴∠1＝∠2
又∵∠＝∠.
∴∠∠＝.
即
② 解法一: 过作于,
由题意有,
∴，则∠1＝.
而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴ ，即.
在Rt中，＝＝,
而∽,∴, 即,
∴.
再连接，显然有,
∴.
3.解法一：（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得； （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=； (3)．
解法二：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，
∴△BCE△OCA，∴BE=OA，E=OAC，∴BE//OA，
∴△APD~△EPB，∴=．又∵D为OA中点，
OA=OB，∴==．∴==，∴=2．
(2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点，
∴△BCH△OCA，∴CBH=O=90，BH=OA．由=，
设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t．在Rt△BOD中，
BD==5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP，
∴===4．∴BP=4PD=BD=4t，∴BH=BP．
∴tanBPC=tanH===．
(3) tanBPC=．提示：可以获得PD=AD=1,仍有则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=．
4．（1）设与交于点D，连结，
则，
在中，，
即，
解得． …4分
（2）设与交于点E，连结，
则，
在中，
即，
解得． …4分
（3）设与交于点F，连结，
则，
在中，
即，
解得． …4分
第二部分 练习部分
1．（2010德州）探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；
(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，
求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，
x=_________，y=___________．（不必证明）
●运用 在图2中，一次函数与反比例函数
的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
2.（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S、S之间的关系为：S＝ （用含S、S的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
图（十三）
3.（2010江苏淮安）(1)观察发现
如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P
再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这
点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
题26(a)图 题26(b)图
(2)实践运用
如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
题26(c)图 题26(d)图
(3)拓展延伸
如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留
作图痕迹，不必写出作法．
练习部分答案
1.解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；
(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为
，， ，则∥∥．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
=．
∴O=．
即D点的横坐标是．同理可得D点的纵坐标是．
∴AB中点D的坐标为(，)．
归纳：，．
运用 ①由题意得
解得 EMBED Equation.3 或．
∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．
②以AB为对角线时，
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM=OP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA，OB为对角线时，
点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．------10分
2.解：（1）
（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．
3.解：（1）；
（2）如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是的中点，
所以∠AEB=15°，
因为B关于CD的对称点E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE为等边三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因为OA=OE，
所以△OAE为等腰直角三角形，
所以AE=.
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，
A
M
P
H
图12
2
1
G
F
E
D
C
A
B
图11
G
F
E
D
C
B
A
圖3
圖2
圖1
B
A
P
O
C
D
B
A
P
O
C
D
O
P
D
C
B
A
图12
M
H
F
E
C
B
D
A
G
C
B
E
F
图11
D
A
G
图110
F
E
D
C
B
A
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
F
E
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
G
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
B
C
D
P
O
E
D
C
O
P
H
A
B
（第23题 图1）
（第23题 图2）
（第23题）
图1
O
x
y
D
B
A
C
O
x
y
D
B
第图2
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
图3
A′
D′
B′
O
x
y
D
B
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
O
P
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