冲刺中考：代数部分分类讨论探究
图片预览
文档简介
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
冲刺中考：代数部分分类讨论探究
有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．
分类思考是解决数学问题的一种重要的思想方法，也是我们必须要掌握的一种解题策略．掌握好分类讨论的解题方法，非常有利于培养和发展我们思维的条理性、缜密性和灵活性，使我们能够完整地考虑问题，从而学会化整为零地解决问题．
解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：
（1）分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；
（2）分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；
（3）分类讨论应逐级进行．
解决分类讨论题的基本方法和步骤是：
确定研究对象的全体范围；
①确定分类标准，合理地进行分类；
②逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；
③综合各级结果，得出最终结论．
近年来中考数学试题中分类讨论题（代数部分）一般有概念型分类讨论题、性质型分类讨论题、参数型分类讨论题、解集型分类讨论题、统计型分类讨论题和方案设计型分类讨论题等几种类型．
类型一 概念型分类讨论题
有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如的定义分＜0、＝0和＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．
【例1】 若,且,,则 ．
【分析与解答】由，得≥．而由，，得，．下面分情况进行讨论．
1.当时，有＞，这与≥相矛盾，所以不成立；
2.当，时，满足≥，那么；
3.当，时，满足≥，那么．
综合上面的讨论可知的值为1或49．
【点拨】每年的中考题都会出现一些考查基础知识、基本技能、基本思想方法的问题，这类题主要集中在数与式的一些基本概念与运算方面．因此我们一定要牢固掌握好这些分类定义的概念，并能灵活运用．否则的话对于这类题目我们容易丢解．
类型二 性质型分类讨论题
有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．
【例2】 已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析与解答】因为A（1，2）、B（3，2）两点的纵坐标相等，所以抛物线的对称轴方程是，即．又因为点C（5，7）也在抛物线上，所以抛物线的开口向上．下面就对称轴的两边分两种情况讨论二次函数的性质．
1.当＜2时，此二次函数是单调递减函数．由于＜，所以有＞．
2.当＞2时，此二次函数是单调递增函数．而M（）关于对称轴的对称点的坐标为（），由于6＜8，所以有＜．
综合（1）、（2）可得＜＜，故选B．
【点拨】解决此类问题时，我们一定要分类讨论二次函数的性质：（1）当＞0时，对称轴的左边单调递减，对称轴的右边单调递增；（2）当＜0时，对称轴的左边单调递增，对称轴的右边单调递减．
【例3】 已知函数的图象如下，当时，的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或
D．或
【分析与解答】由于反比例函数的性质是分段描述的：当＞0时，反比例函数的图象在第一象限随着增大而减小，且＞0；当＜0时，反比例函数的图象在第三象限随着增大而减小，且＜0．
本题中，必须分为＜0和＞0两种情况进行考查．
A．当＜0时，由反比例函数的性质可知；
B．当＞0时，由反比例函数的性质可知＞0．
所以本题的正确答案是选C．
【点拨】本题主要考查反比例函数的增减性，理解反比例函数的增减性主要存在以下两方面的误区：一是片面地理解反比例函数的增减性，没有分＞0和＜0两个区间分别讨论；二是错误地认为反比例函数是单纯的递增函数或单纯的递减函数．
类型三 参数型分类讨论题
解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题．
【例4】 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
【分析与解答】要确定正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象，首先要知道、的取值范围．由于，所以要分＞0，＜0和＜0，＞0两种情况进行讨论．
（1） 当＞0，＜0时，正比例函数的图象在一、三象限，反比例函数的图象在二、四象限．图中的四个选择支没有一个符合条件；
（2） 当＜0，＞0时，正比例函数的图象在二、四象限，反比例函数的图象在一、三象限．图中的四个选择支只有B符合条件．
综合（1）、（2）可知，本题的正确答案是B．
【点拨】解决这类问题，关键要把握两点：一是判断正比例函数中的取值，确定图象所在象限及增减性；二是判断反比例函数中的取值，确定图象所在象限及每一象限中的增减性．
【例5】 对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析与解答】平面直角坐标系中，每一象限内点的坐标的正负性有如下规律：
坐标 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
横坐标 ＋ － － ＋
纵坐标 ＋ ＋ － －
由于点P坐标含有参数，下面就的取值范围分段讨论．
（1） 当＜0时，＞0，点在第二象限；
（2） 当时，，点为原点；
（3） 当0＜＜2时，＜0，点在第四象限；
（4） 当＞2时，＞0，点在第一象限．
综上所述，点一定不在第三象限，故选C．
【点拨】解决这类问题首先应熟练掌握每一象限内点的横、纵坐标的正负性，以及在坐标轴上的点的坐标特点，然后根据参数的不同取值分段讨论．
【例6】 关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为 ( )
(A)a=0． (B)a=2． (C)a=1． (D)a=0或a=2．
【分析与解答】关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0中参数a的取值不同，方程的性质也会发生变化，下面分别讨论．
（1） 当时，原方程变为一元一次方程，此方程只有一个解；
（2） 当时，原方程ax2－(a＋2)x＋2=0是一元二次方程，由，得．
综合（1）、（2）得或，所以本题选择D．
【点拨】因为题目中相同解算作一解，所以一元一次方程和一元二次方程都有可能符合条件，因此，我们在解答类似题目时一定要考虑周全，不要漏解．
类型四 解集型分类讨论题
求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．
【例7】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式.
解：∵，
∴.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1） （2）
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
问题：求分式不等式的解集.
【分析与解答】阅读例题可知，把和看成两个数，它们的积为正，则这两个数同号，由此类推不难解决给出的问题．由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可知和异号，下面分情况讨论即可．
（1）当＞0，＜0时，解不等式组得；
（2）当＜0，＞0，时，解不等式组无解．
综合（1）、（2）两种情况，得分式不等式的解集为.
【点拨】本例先根据乘法法则用分组的方法结出了一个一元二次不等式的求解过程，然后要求我们用类比的方法求解一个分式不等式．解决这类问题的关键是要弄清解题原理，能够“现学现用”，分析并解决问题．
类型五 统计型分类讨论题
有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．
【例8】 已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．
【分析与解答】设这三个不相等的正整数从小到大排列为，3，．根据题意，的取值可以是1和2．下面我们分别讨论：
（1） 当时，由得；
（2） 当时，由得．
综上所述，这三个数分别为1，3，5或2，3，4．
【点拨】由于数据的不确定性，需要对它进行分类讨论．如果我们不能有条理地进行思考，就可能有遗漏的情况出现．分类讨论的思想非常有利于克服思维的片面性，防止漏解．
类型六 方案设计型分类讨论题
在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．
【例9】 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析与解答】设需二人间间，三人间间，则需四人间为间．根据题意，得，化简，得．由于、、皆为正整数．下面分别讨论．
（1） 当时，，，不符合要求；
（2） 当时，，，符合要求；
（3） 当时，，，符合要求；
（4） 当时，，，不符合要求；
故符合条件的方案有2种，即C是正确答案．
【点拨】利用不定方程解决日常生活中的实际问题是近年来中考题中的常见题型之一．本题的误区是往往由于读题不细心，审题不严谨，从而容易忽视、、是正整数这个隐含条件，导致4种方案都符合要求的结论．
总之，分类讨论是一种非常重要，也是很常见的数学解题方法，在中考试卷中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度．因此，我们一定要牢固掌握分类的技能技巧，做到举一反三，触类旁通．
B．
O
x
y
D．
O
x
y
A．
O
x
y
C．
O
x
y
X
-1
-1
O
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网
冲刺中考：代数部分分类讨论探究
有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．
分类思考是解决数学问题的一种重要的思想方法，也是我们必须要掌握的一种解题策略．掌握好分类讨论的解题方法，非常有利于培养和发展我们思维的条理性、缜密性和灵活性，使我们能够完整地考虑问题，从而学会化整为零地解决问题．
解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：
（1）分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；
（2）分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；
（3）分类讨论应逐级进行．
解决分类讨论题的基本方法和步骤是：
确定研究对象的全体范围；
①确定分类标准，合理地进行分类；
②逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；
③综合各级结果，得出最终结论．
近年来中考数学试题中分类讨论题（代数部分）一般有概念型分类讨论题、性质型分类讨论题、参数型分类讨论题、解集型分类讨论题、统计型分类讨论题和方案设计型分类讨论题等几种类型．
类型一 概念型分类讨论题
有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如的定义分＜0、＝0和＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．
【例1】 若,且,,则 ．
【分析与解答】由，得≥．而由，，得，．下面分情况进行讨论．
1.当时，有＞，这与≥相矛盾，所以不成立；
2.当，时，满足≥，那么；
3.当，时，满足≥，那么．
综合上面的讨论可知的值为1或49．
【点拨】每年的中考题都会出现一些考查基础知识、基本技能、基本思想方法的问题，这类题主要集中在数与式的一些基本概念与运算方面．因此我们一定要牢固掌握好这些分类定义的概念，并能灵活运用．否则的话对于这类题目我们容易丢解．
类型二 性质型分类讨论题
有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．
【例2】 已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析与解答】因为A（1，2）、B（3，2）两点的纵坐标相等，所以抛物线的对称轴方程是，即．又因为点C（5，7）也在抛物线上，所以抛物线的开口向上．下面就对称轴的两边分两种情况讨论二次函数的性质．
1.当＜2时，此二次函数是单调递减函数．由于＜，所以有＞．
2.当＞2时，此二次函数是单调递增函数．而M（）关于对称轴的对称点的坐标为（），由于6＜8，所以有＜．
综合（1）、（2）可得＜＜，故选B．
【点拨】解决此类问题时，我们一定要分类讨论二次函数的性质：（1）当＞0时，对称轴的左边单调递减，对称轴的右边单调递增；（2）当＜0时，对称轴的左边单调递增，对称轴的右边单调递减．
【例3】 已知函数的图象如下，当时，的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或
D．或
【分析与解答】由于反比例函数的性质是分段描述的：当＞0时，反比例函数的图象在第一象限随着增大而减小，且＞0；当＜0时，反比例函数的图象在第三象限随着增大而减小，且＜0．
本题中，必须分为＜0和＞0两种情况进行考查．
A．当＜0时，由反比例函数的性质可知；
B．当＞0时，由反比例函数的性质可知＞0．
所以本题的正确答案是选C．
【点拨】本题主要考查反比例函数的增减性，理解反比例函数的增减性主要存在以下两方面的误区：一是片面地理解反比例函数的增减性，没有分＞0和＜0两个区间分别讨论；二是错误地认为反比例函数是单纯的递增函数或单纯的递减函数．
类型三 参数型分类讨论题
解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题．
【例4】 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
【分析与解答】要确定正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象，首先要知道、的取值范围．由于，所以要分＞0，＜0和＜0，＞0两种情况进行讨论．
（1） 当＞0，＜0时，正比例函数的图象在一、三象限，反比例函数的图象在二、四象限．图中的四个选择支没有一个符合条件；
（2） 当＜0，＞0时，正比例函数的图象在二、四象限，反比例函数的图象在一、三象限．图中的四个选择支只有B符合条件．
综合（1）、（2）可知，本题的正确答案是B．
【点拨】解决这类问题，关键要把握两点：一是判断正比例函数中的取值，确定图象所在象限及增减性；二是判断反比例函数中的取值，确定图象所在象限及每一象限中的增减性．
【例5】 对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析与解答】平面直角坐标系中，每一象限内点的坐标的正负性有如下规律：
坐标 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
横坐标 ＋ － － ＋
纵坐标 ＋ ＋ － －
由于点P坐标含有参数，下面就的取值范围分段讨论．
（1） 当＜0时，＞0，点在第二象限；
（2） 当时，，点为原点；
（3） 当0＜＜2时，＜0，点在第四象限；
（4） 当＞2时，＞0，点在第一象限．
综上所述，点一定不在第三象限，故选C．
【点拨】解决这类问题首先应熟练掌握每一象限内点的横、纵坐标的正负性，以及在坐标轴上的点的坐标特点，然后根据参数的不同取值分段讨论．
【例6】 关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为 ( )
(A)a=0． (B)a=2． (C)a=1． (D)a=0或a=2．
【分析与解答】关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0中参数a的取值不同，方程的性质也会发生变化，下面分别讨论．
（1） 当时，原方程变为一元一次方程，此方程只有一个解；
（2） 当时，原方程ax2－(a＋2)x＋2=0是一元二次方程，由，得．
综合（1）、（2）得或，所以本题选择D．
【点拨】因为题目中相同解算作一解，所以一元一次方程和一元二次方程都有可能符合条件，因此，我们在解答类似题目时一定要考虑周全，不要漏解．
类型四 解集型分类讨论题
求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．
【例7】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式.
解：∵，
∴.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1） （2）
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
问题：求分式不等式的解集.
【分析与解答】阅读例题可知，把和看成两个数，它们的积为正，则这两个数同号，由此类推不难解决给出的问题．由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可知和异号，下面分情况讨论即可．
（1）当＞0，＜0时，解不等式组得；
（2）当＜0，＞0，时，解不等式组无解．
综合（1）、（2）两种情况，得分式不等式的解集为.
【点拨】本例先根据乘法法则用分组的方法结出了一个一元二次不等式的求解过程，然后要求我们用类比的方法求解一个分式不等式．解决这类问题的关键是要弄清解题原理，能够“现学现用”，分析并解决问题．
类型五 统计型分类讨论题
有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．
【例8】 已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．
【分析与解答】设这三个不相等的正整数从小到大排列为，3，．根据题意，的取值可以是1和2．下面我们分别讨论：
（1） 当时，由得；
（2） 当时，由得．
综上所述，这三个数分别为1，3，5或2，3，4．
【点拨】由于数据的不确定性，需要对它进行分类讨论．如果我们不能有条理地进行思考，就可能有遗漏的情况出现．分类讨论的思想非常有利于克服思维的片面性，防止漏解．
类型六 方案设计型分类讨论题
在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．
【例9】 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析与解答】设需二人间间，三人间间，则需四人间为间．根据题意，得，化简，得．由于、、皆为正整数．下面分别讨论．
（1） 当时，，，不符合要求；
（2） 当时，，，符合要求；
（3） 当时，，，符合要求；
（4） 当时，，，不符合要求；
故符合条件的方案有2种，即C是正确答案．
【点拨】利用不定方程解决日常生活中的实际问题是近年来中考题中的常见题型之一．本题的误区是往往由于读题不细心，审题不严谨，从而容易忽视、、是正整数这个隐含条件，导致4种方案都符合要求的结论．
总之，分类讨论是一种非常重要，也是很常见的数学解题方法，在中考试卷中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度．因此，我们一定要牢固掌握分类的技能技巧，做到举一反三，触类旁通．
B．
O
x
y
D．
O
x
y
A．
O
x
y
C．
O
x
y
X
-1
-1
O
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网
同课章节目录