【2020年暑期衔接】青岛版八下 第13讲 二次根式的性质（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第13讲
二次根式的性质
一、单选题：
1.要使代数式
有意义，则x的取值范围是（??
）
A.?x>
?????????????????????????????????B.?x＜
?????????????????????????????????C.?x≥
?????????????????????????????????D.?x≤
?
2.若
=a-1，则（
???）
A.?a<1?????????????????????????????????????B.?a≤1?????????????????????????????????????C.?a>1?????????????????????????????????????D.?a≥1
3.下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，
一定是二次根式的有（　　）个．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.若
，则(???
)
A.?a≤5????????????????????????????????????B.?a≥0????????????????????????????????????C.?0≤a≤5????????????????????????????????????D.?a≥5
5.若
,则(??
).
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
6.若x+y＝3+2
，x﹣y＝3﹣2
，则
的值为（???
）
A.?4
??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????D.?3﹣2
7.小明的作业本上有以下四题：①
＝4a2；②
；③
；④
，做错的题有（???
）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
8.若a、b分别是6-
的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是（???
）
A.?3-
?????????????????????????????????B.?4-
?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?4+
9.已知
，那么
的值是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
10.已知：m,
n是两个连续自然数（m设p=则p(
?
??
?
)
A.?总是奇数???????????????B.?总是偶数???????????????C.?有时奇数,有时偶数???????????????D.?有时有理数,有时无理数
二、填空题：
11.能使等式
成立的x的取值范围是________.
12.观察分析，探求规律，然后填空：，
2，，
2，
，
…，________?（请在横线上写出第100个数）．
13.三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=________?
14.计算=________?．
15.化简
的结果为________
16.当x=________时，二次根式
有最大值．
17.已知0＜a＜1，化简-=________?
18.如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．
利用图形化简：
=________．
三、解答题：
19.计算：
（1）
（2）
20.已知M=
是m+3的算术平方根，N=
是n-2的立方根，求：M-N的值的平方根．
21.若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，
试求此等腰三角形的周长．
22.已知实数a满足+=a，求a﹣20082的值是多少？
23.探索规律
先观察下列各式，再回答问题．=1；=1；=1．
（1）根据上面三个等式提供的消息，请猜想的结果，不用验证；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数），不用验证．
24.阅读下面材料，回答问题：
在化简
的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
；
小李的化简如下：
；
（1）请判断谁的化简结果是正确，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简
．
25.观察下列各式及其验证过程：，
验证：．
，
验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：由题意可知2x-3≥0，
解之：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，建立关于x的不等式，求出不等式的解集即可。
2.【答案】
D
解：由题意得a-1≥0，解得a≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
3.【答案】
C
解：①当a＜0时，不是二次根式；
②当b+1＜0即b＜﹣1时，不是二次根式；
③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；
⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确，
故选：C．
【分析】一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．
4.【答案】
C
解：由题意可得a≥0且5-a≥0，
解得0≤a≤5.
故答案为C.
【分析】使二次根式有意义，即是被开方数为非负数，据此解答即可.
5.【答案】
B
解：∵
∴1-2a≥0
解之：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质：若，
则a≥0，由此建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
6.【答案】
B
解：∵x+y＝3+2
，x﹣y＝3﹣2
，
∴
＝1．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质解答．
7.【答案】
D
解：因为
＝
=4a2
，
所以①符合题意；因为
，所以②符合题意；③因为a＞0，则
，所以③符合题意；④
与
不是同类二次根式，不能合并，所以④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则依次判断即可
8.【答案】
C
解：根据无理数的估算，可知3＜
＜4，因此可知-4＜-
＜-3，即2＜6-
＜3，所以可得a为2，b为6-
-2=4-
，因此可得2a-b=4-（4-
）=
.
故答案为：C.
【分析】根据题意，估算的值，确定其整数部分，即可得到其小数部分，根据式子解出代数式的答案即可。
9.【答案】
C
解：当x＞0，y＞0时，
?=2
?=
；
当x＜0，y＜0时，
?=-2
?=-
；
综上所述本题答案应为：C.
【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.
10.【答案】
A
解：m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2
，
q-m=m（m+1)-m=m2
，
∴p＝=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2
，
q-m=m（m+1)-m=m2
，
代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
二、填空题
11.【答案】
0≤x<7
解：∵x≥0,7-x＞0，
∴0≤x＜7。
故答案为：0≤x＜7.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答。
12.【答案】
解：因为2=，
2==，
所以此列数为：，
，
，
，
…，
则第100个数是：=10．
故答案是：10．
【分析】把2与2都写成算术平方根的形式，不难发现，被开方数是偶数列，然后写出第100个偶数整理即可得解．
13.【答案】2m-10
解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．
14.【答案】2017
解：原式=
=
=2016+1
=2017，
故答案为：2017．
【分析】根据完全平方公式把被开方数化为（2016+1）2的形式，根据二次根式的性质化简计算即可．
15.【答案】
解：依题意可知m＜0，
∴
=
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
16.【答案】﹣
解：∵
是二次根式，
∴25﹣（2+3x）2≥0，
∴当2+3x=0时，二次根式
有最大值，
即x=﹣
，
故答案为：﹣
．
【分析】根据二次根式的定义得出25﹣（2+3x）2≥0，求出当2+3x=0时，二次根式
有最大值，求出即可．
17.【答案】
解：∵0＜a＜1，
∴＜，
∴原式=﹣
=﹣
=+﹣（-）=2．
【分析】因为a=（）2
，
=，
又0＜a＜1，所以（）2＜，
即＜．
18.【答案】0
解：由图可知，a＜0，b＞0，c＜0且|a|＜|b|＜|c|，
所以，a﹣b＜0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，
所以，|a﹣b|﹣
+
=b﹣a+c﹣b+a﹣c=0．
故答案为：0．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．
三、解答题
19.
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【分析】（1）先化简二次根式，进行乘法计算，再进行减法计算；（2）先根据二次根式和绝对值进行化简得到
，再去括号进行有理数的加减计算即可得到答案.
20.
解：M=
是m+3的算术平方根，
m-4=2，
解得m=6，
M=
=3；
N=
是n-2的立方根，
2m-4n+3=3,即12-4n+3=3,
解得n=3，
N=
=1，
M-N=3-1=2，．M-N的值的平方根是±
．
【分析】根据题意可知，m-4=2，2m-4n+3=3，即可分别计算得到m和n的数值，计算M和N的差即可。
21.
解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以a=2，
b=4，
①a=2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②a=2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
所以此等腰三角形的周长为10．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a，再求出b，然后分a是腰长与底边两种情况讨论．
22.
解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2009≥0，即a≥2009，
∴2008﹣a≤﹣1＜0，
∴a﹣2008+=a，解得=2008，等式两边平方，整理得a﹣20082=2009．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可．
23.
解：①观察可得，=1，
②=1
【分析】①由规律写出式子，
②用n表示出式子，再利用规律得出结果即可．
24.
解：（1）小李化简符合题意，小张的化简结果不符合题意．
因为
；
（2）原式=
．
【分析】分析：(1)、根据
的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
25.
解：（1）=4，
理由是：===4；
（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴=a，
验证：==a；正确；
（3）=a（a为任意自然数，且a≥2），
验证：===a．
【分析】（1）利用已知，观察．
，
可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．
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