【2020年暑期衔接】青岛版八下 第15讲 第九章 二次根式单元测试（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第15讲
第九章《二次根式》单元测试
一、单选题：
1.式子：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
⑧
中是二次根式的代号为（?
）
A.?①②④⑥?????????????????????????????B.?②④⑧?????????????????????????????C.?②③⑦⑧?????????????????????????????D.?①②⑦⑧
2.若函数y＝
，则自变量x的取值范围是(???
)
A.?－1＜x＜1?????????????????????????????B.?x≥－1且x≠1?????????????????????????????C.?x≥－1?????????????????????????????D.?x≠1
3.在二次根式
，﹣
，
，
，
中，最简二次根式有（??
）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.若等腰三角形的两边长分别为和
，则这个三角形的周长为（　　）
A.??????????????????????????????B.?或
?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
5.已知a﹣b=2+，
b﹣c=2﹣，
则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A.?10??????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????D.?15
6.若三角形的三边分别是a
，
b
，
c
，
且=0，则这个三角形的周长是（　　）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
7.实数a在数轴上的位置如图所示，则??
化简后为（　　）
A.?7????????????????????????????????B.??7????
?????????????????????????????????????C.?2a?15????????????????????????????????D.?无法确定
8.若+=，
0＜x＜1，则﹣=（　　）
A.?-???????????????????????????????????????B.?-2???????????????????????????????????????C.?±2???????????????????????????????????????D.?±
9.若，
且x+y=5，则x的取值范围是（　　）
A.?x＞?????????????????????????????B.?≤x＜5?????????????????????????????C.?＜x＜7??????????????????????????????D.?＜x≤7
10.计算：的值是（　　）
A.?0????????????????????????????????B.?4a﹣2????????????????????????????????C.?2﹣4a????????????????????????????????D.?2﹣4a或4a﹣2
11.若|1﹣x|=1+|x|，则等于（　　）
A.?x﹣1???????????????????????????????????????B.?1﹣x???????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????D.?-1
12.已知实数a满足，
那么a﹣20002的值是（　　）
A.?1999???????????????????????????????????B.?2000???????????????????????????????????C.?2001???????????????????????????????????D.?2002
二、填空题：
13.设
的整数部分是a，小数部分是b，则
的值是________．
14.如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和27，那么图中阴影部分的面积为________。
15.已知x是实数且满足（x﹣3）=0，则相应的代数式x2+2x﹣1的值为________?．
16.已知x=
，y=
，则x与y之间的大小关系是________．
17.已知
﹣
=2，则
的值为________．
18.设
，
，
，则
,
,
从小到大的顺序是________.
19.已知
，
且
，则
________．
三、解答题：
20.计算：
（1）
（2）
21.若a,b为有理数，且?
=
，求?
的值。
22.若最简二次根式
与
是同类二次根式，求a2016+b2016的值．
23.已知y＜
+
+3，化简|y﹣3|﹣
．
24.阅读下面计算过程：
；
；
.
求：
（1）的值.
（2）（n为正整数）的值.
（3）的值.
25.观察下列格式，
-
，
，
，
…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
26.解答下列问题：
（1）试比较??与??的大小；
（2）你能比较??与??的大小吗？其中k为正整数.
27.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2
＝（1+
）2
．
善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b
＝（m+n
）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b
＝m2+2n2+2mn
．
∴a＝m2+2n2
，
b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b
＝（m+n
）2
，
用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝________，b＝________；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n
（a、b都不超过20）
填空：________+________
＝（________+________
）2；
（3）若a+6
＝（m+n
）2
，
且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
解：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
⑧
中，
①a＜0时不是二次根式；
②符合二次根式的定义；
③|1﹣x|≥0，是二次根式；
④x＜﹣2时，不是二次根式；
⑤x＞0时不是二次根式；
⑥5x2﹣1＜0时不是二次根式；
⑦a2+2≥0，是二次根式；
⑧3b2≥0，是二次根式．
故选C．
【分析】根据二次根式的定义直接解答即可．
2.【答案】
B
解：根据题意可知，x+1≥0，x-1≠0
∴x≥-1且x≠1
故答案为：B。
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分数中分母不为0，即可得到x的取值范围。
3.【答案】B
解：
=4x
，不是最简二次根式；
﹣
是最简二次根式；
=
=
，不是最简二次根式；
=
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
即最简二次根式有2个．
故选B．
【分析】根据二次根式的性质看看每个二次根式是否能继续往外开（也可以根据最简二次根式的定义直接判断），即可得出答案．
4.【答案】
B
解：设此等腰三角形腰长为
或
，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为+
=或
+=，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
5.【答案】
D
解：∵a﹣b=2+，
b﹣c=2﹣，
∴a﹣c=4，
∴原式====15．
故选D．
【分析】由a﹣b=2+，
b﹣c=2﹣可得，a﹣c=4然后整体代入．
6.【答案】
D
解：由原式得a=，b=-1，c=4，故此三角形的周长为+-1+4=，
故选D
【分析】由非负数其和为0，求解a、b、c的数值，最后求解周长．
7.【答案】
A
解：由数轴可知5【分析】结合数轴判断字母的取值范围，从而正确化简二次根式就可以顺利做出题目．
8.【答案】
A
解：∵+=，
∴（+）2=6，
∴（﹣）2+4=6，
∴|﹣|=，
∵0＜x＜1，
∴﹣=﹣．
故选A．
【分析】把已知条件两边平方得到（+）2=6，再根据完全平方公式得到（﹣）2+4=6，则利用二次根式的性质得|﹣|=，
然后根据0＜x＜1，去绝对值即可．
9.【答案】
D
解：∵，
∴y+2≥0，2x﹣1＞0，
解得：y≥﹣2，x＞，
∵x+y=5，
∴＜x≤7．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，得出y的取值范围，进而得出答案．
10.【答案】
D
解：①当2a＞1时，原式=|2a﹣1|+|1﹣2a|=（2a﹣1）+（2a﹣1）=4a﹣2；
②当2a＜1时，原式=|2a﹣1|+|1﹣2a|=（1﹣2a）+（1﹣2a）=2﹣4a．
故选D．
【分析】首先进行分情况分析，①当2a＞1时，原式=|2a﹣1|+|1﹣2a|=（2a﹣1）+（2a﹣1），然后去括号，合并同类项即可；②当2a＜1时，原式=|2a﹣1|+|1﹣2a|=（1﹣2a）+（1﹣2a），然后去括号，合并同类项即可．
11.【答案】
B
解：∵|1﹣x|=1+|x|，
∴x≤0，
∴x﹣1＜0，
∴=1﹣x，
故选B．
【分析】根据二次根式的性质可以判断x＜0，然后再开根号求解．
12.【答案】
C
解：∵a﹣2001≥0，
∴a≥2001，
则原式可化简为：a﹣2000+=a，
即：=2000，
∴a﹣2001=20002
，
∴a﹣20002=2001．
选C．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，依此计算绝对值，从而求得a﹣20002的值．
二、填空题
13.【答案】10
解：∵
=
，
∴整数部分a=2，小数部分b=
-2=
，
∴
=22+（1+
）×2×
=4+7-1=10．
故答案为：10
【分析】先分母有理化，从而可得a、b的值，再代入计算即可。
14.【答案】
6
解：由题意可得，
大正方形的边长为
?小正方形的边长为
，
∴图中阴影部分的面积为：
?
故答案为：6.
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就等于面积的算术平方根即可算出两个正方形的边长，从而利用平移的方法，得出阴影部分矩形的长与小正方形的边长一致，宽为大正方形的边长与小正方形的边长的差，然后根据长方形的面积计算方法即可算出答案。
15.【答案】7
解：∵x是实数且满足（x﹣3）=0，
∴x﹣3=0或=0，解得x=3或x=2．
∵当x=3时，2﹣3=﹣1＜0，此时无意义，
∴x=2．
当x=2时，原式=4+4﹣1=7．
故答案为：7．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入代数式进行计算即可．
16.【答案】x＜y
解：∵x=
，y=
，
∴x=﹣（
）=﹣
，y=﹣（
）=﹣
，
∴﹣x=
，﹣y=
，
∵
＞
，
＜
，
∴﹣y
＜﹣x，
∴﹣y＜﹣x，
∴x＜y．
故答案为：x＜y．
【分析】首先对x和y的式子进行变形推出，x=﹣（
）=﹣
，可得﹣x=
，y=﹣（
）=﹣
，可得﹣y=
，然后根据
＞
，
＜
，通过等量代换推出﹣y
＜﹣x，即可推出﹣y＜﹣x，根据不等式的性质，即可求出x＜y．
17.【答案】4
解：∵
﹣
=2，
∴x+
﹣2=4，
则x+
=6，
故（x+
）2=36，
则x2+
+2=36，
故x2+
=34，
则
=
=4
．
故答案为：4
．
【分析】直接利用完全平方公式进而得出x+
=6，进而得出x2+
=34，即可得出答案．
18.【答案】a＜
c
＜
b
解：c=
=
，b=2+
，
所以显然有c＜b.
c?=2+3+2
=5+2
＞5+2=7=a?，显然有c＞a.
故答案为a＜c＜b.
【分析】将c分母有理化再进行比较即可．
19.【答案】
4
解：∵
，
且
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：4．
【分析】首先求出
，
，
，然后对所求式子化简，再整体代入计算即可．
三、解答题
20.
解：
（1）原式=4-3+=
（2）原式==5-19+6=6-14.
【分析】（1）将二次根式进行化简，再计算答案即可；
（2）根据有理数的乘方以及二次根式的性质化简求出值即可。
21.
解：=++=
，因为a、b都为有理数，所以a=0，b=
，所以=1.
【分析】利用二次根式的加减法进行正确的计算，有根据有理数条件求出a、b的值，是解题的一个常规思想.
22.
解：∵
与
是同类二次根式
∴
，
解得：
，
则a2016+b2016=2．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解出方程组求出a、b的值，计算即可．
23.
解：根据题意得：
，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=1．
【分析】根据二次根式的意义列出关于x的不等式组，从而求得x的值，进而求得y的取值范围，再对所给的式子化简.
24.
解：（1）
（2
（3）
=
=10-1
=9.
【分析】（1）根据分数的性质，在分子、分母中都乘以分母的有理化因式即可化简得出答案；
（2）根据分数的性质，在分子、分母中都乘以分母的有理化因式即可化简得出答案；
（3）将各个加数分别分母有理化进行化简，再根据二次根式的加减法法则即可算出答案.
25.
解：（1）-
=
-
=
-
=-1，
=
-
=-2，
=
-
=-3，
=
-
=-4
（2）-
=-5
（3）-
=
-
=-n
【分析】（1）通过分母有理化，转化为同分母分式的减法即可得结果；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）先通过对前面5个式子结构特征的分析，归纳出一般规律写出第n个式子，再类比前面的方法即可。
26.
解：（1）?，
???，
?故??＜?
（2）?，
???，
?故??＜?
【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
27.
解：⑴∵a+b
＝（m+n
）2
，
∴a+b
＝m2+5n2+2mn
，
∴a＝m2+5n2
，
b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn。
⑵8+2
＝（1+
）2
，
故答案为：8；2；1；1。
（3）∵a+6
＝（m+n
）2＝m2+3n2+2mn
，
∴a＝m2+3n2
，
2mn＝6，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴a＝28或12
【分析】（1）将等号右边的式子根据完全平方公式展开，根据等号两侧的式子相等，即可得到a和b分别表示的代数式；
（2）根据（1）中的结论，可以根据a和b分别与mn之间的关系，写出一组符合条件的数字。
（3）将等号右边的式子展开，求得mn的值，根据题意，m和n为正整数选择几个可能的值进行计算a的值即可。
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