13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版
八年级数学上
13.1.2线段的垂直平分线的性质（1）
学习目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
回顾旧知
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
1.什么是线段的垂直平分线？
2.图形轴对称的性质是什么？
对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
情境导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
合作探究
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l
上的点，请你量一量点P1，P2，P3，
…到点A
与点B
的距离，你能发现什么？
A
B
l
P1
P2
P3
P1A
____P1B
P2A
____
P2B
P3A
____
P3B
＝
＝
＝
…
猜测：点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
合作探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质:
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点P
在l
上．
　　求证：PA
=PB．
　　证明：∵　l⊥AB，
∴
∠PCA
=∠PCB．
　　又
AC
=CB，PC
=PC，
　　∴
△PCA
≌△PCB（SAS）．
　　∴
PA
=PB．
你能验证此结论？
符号语言：
∵
CA
=CB，l⊥AB，
∴
PA
=PB．
典例精析
例1
如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
C
知识点拨：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
小试牛刀
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（
）
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,
△BCE的周长等于18cm,则AC的长是
.
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
合作探究
思考：：反过来，如果PA
=PB，那么点P
是否在线段AB
的垂直平
分线上呢？
　　已知：如图，PA
=PB．
　　求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
证明：过点P直线l⊥AB，
垂足为C．
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
∵　PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．又∵
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．
　　点P
在线段AB
的垂直平分线上．
合作探究
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理
符号语言：
∵PA
=PB，
∴点P
在AB
的垂直平分线上．
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B
的距离都相等；反过来，与A，B
的距离相等的点都在直线l上，所以直线l
可以看成与两点A、B
的距离相等的所有点的集合．
典例精析
例2、已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴点E在CD的垂直平分线上
∴
OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
∴点O在CD的垂直平分线上
归纳总结
应用格式：
∵　AB
=AC，MB
=MC，
∴　直线AM
是线段BC
的垂直
平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
典例精析
例3、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
A
B
C
D
E
K
已知：直线AB和AB外一点C
.
求作：AB的垂线，使它经过点C
.
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C
为圆心，CK长为半径作弧，
交AB于点D和点E.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
F
小试牛刀
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(
)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
(
)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
小试牛刀
3、
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明
：
∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴
OA=OB.
同理OB=OC.
∴
OA=OC.
∴
点O在AC的垂直平分线上.
结论：
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？
1.说一说线段垂直平分线的性质和判定定理？
几何语言呢？
2.如何用尺规作图作已知直线的垂线？
综合演练
1.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
综合演练
3．如图，点D在△
ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，
则点D在________的垂直平分线上．
AC
2.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3
cm，则P点到直线AB的距离是____cm.
3
综合演练
4．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于
AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，AM，BM，MN与AB交于点O，则AO＝____，AM＝____．
BO
BM
综合演练
5．如图,
AD⊥BC,
BD＝CD,
点C在AE的垂直平分线上.
AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解：∵BD＝CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC.
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CE＝AC
∴
AB=AC=CE.
∵
BD＝CD
∴AB+BD=CE+CD
∴
AB+BD=DE
综合演练
6、如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
解：相等.
理由：连接BC，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE.
课后作业
教材64页习题13.1第6题．
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