2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册：1.2一定是直角三角形吗 同步练习(word解析版)

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册
1.2一定是直角三角形吗
同步练习
一．选择题（共6小题）
1．下面三组数中是勾股数的一组是（　　）
A．6，7，8
B．1.5，2，2.5
C．21，28，35
D．9，16，25
2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，则BC的长为（　　）
A．14
B．13
C．12
D．9
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC
是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC
是直角三角形
C．如果
a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC
是直角三角形
D．如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠A＝90°
4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别是a，b，c，且c+a＝2b，c﹣a＝b，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
5．已知△ABC的三边a、b、c满足关系式|a﹣5|+（4﹣c）2+b2﹣6b+9＝0，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
6．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　）
A．47
B．62
C．79
D．98
二．填空题（共5小题）
7．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；
③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为　
　．
8．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　
　．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是　
　．
10．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是　
　（填序号）．
11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　
　．
三．解答题（共6小题）
12．如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC是直角三角形．
13．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
15．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．
16．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
　
　
8
　
　
勾股数组Ⅱ
35
　
　
　
　
17．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数　
　．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．解：A、∵72+62≠82，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
B、∵1.5，2.5不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
C、∵212+282＝352，∴这一组数是勾股数，故本选项正确；
D、∵92+162≠252，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
故选：C．
2．解：∵AD＝12，AC＝13，CD＝5，
∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169，
即AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝15，AD＝12，
∴BD＝＝＝9，
∴BC＝BD+CD＝9+5＝14．
故选：A．
3．解：A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
C、如果
a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
D、如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选：D．
4．解：∵c+a＝2b，c﹣a＝b，
∴c＝b，a＝b，
∴a2+b2＝（b）2+b2＝b2，
∵c2＝（b）2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角△．
故选：A．
5．解：原式可化为|a﹣5|+（4﹣c）2+（b﹣3）2＝0，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∵a2＝52，c2＝42，b2＝32，
∴a2＝c2+b2，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
6．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
7．解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组为2．
故答案为：2．
8．解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
9．解：连接BD，则有BD＝＝＝5，
∵52+122＝132，即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCD
＝AD?AB+BD?CD
＝×3×4+×5×12
＝36．
答：四边形ABCD的面积为36．
故答案为：36．
10．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：①②④．
11．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
三．解答题（共6小题）
12．证明：∵AC2＝32+42＝25，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
解：连接AC，
∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13，
∴DC2+AC2＝122+52＝169，AD2＝132＝169，
∴DC2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝24．
答：此木板的面积为24．
14．（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴42+32＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC＝．
故AC的长为．
15．解：以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，
理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，
∴c＞a，
∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，
c2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．
16．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
17．解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．