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第二十一章
一元二次方程
第1节
一元二次方程
基础巩固
1．（2020·余姚市兰江中学初二期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0
B．x2+2x+3＝0
C．y2+x＝1
D．＝1
【答案】B
【解析】A、方程2x+1＝0中未知数的最高次数不是2，是一元一次方程，故不是一元二次方程；
B、方程x2+2x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程；
C、方程y2+x＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；
D、方程＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程.
2．（2020·四川省初三期中）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（
）
A．x﹣1=0
B．x2+5=0
C．x3+x=3
D．ax2+bx+c=0
【答案】B
【解析】A、该方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）下列方程属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】、，当时，不是一元二次方程，故本选项错误；
、，是一元二次方程，故本选项正确；
、，不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
4．（2020·广西壮族自治区初三期末）下列方程中，是一元二次方程的为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A、符合一元二次方程的定义，故正确；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故错误；
C、未知数最高次数为1，不是一元二次方程，故错误；
D、为分式方程，不是一元二次方程，故错误；
5．（2020·盐城市盐都区实验初中初二月考）下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1
B．x2+1=2xy
C．x2+=3
D．x2=2x﹣3
【答案】D
【解析】A.
2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B.
x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C.
x2＋＝3是分式方程，故不正确；
D.
x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
6．（2020·甘肃省中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A．-1或2
B．-1
C．2
D．0
【答案】B
【解析】把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴
，
∴，
∴，
7．（2020·河南省初三其他）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（
）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【答案】B
【解析】把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
8．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）关于的一元二次方程有一个根为0，则值为（
）．
A．2或-2
B．2
C．-2
D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】把代入方程得，
解得或，
而，即，
所以的值为-2．
9．（2019·深圳市光明区高级中学初三月考）已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1
B．0
C．0或1
D．0或﹣1
【答案】A
【解析】把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1，
10．（2020·浙江省初二期中）若m是关于x的方程x2﹣2012x﹣1＝0的根，则（m2﹣2012m+3）?（m2﹣2012m+4）的值为（ ）
A．16
B．12
C．20
D．30
【答案】C
【解析】根据题意得程m2﹣2012m﹣1＝0，
所以m2﹣2012m＝1，
所以（m2﹣2012m+3）?（m2﹣2012m+4）＝（1+3）（1+4）＝20．
11．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校初三期中）若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1
B．m＝1
C．m≠0
D．m≥1
【答案】A
【解析】由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
12．（2020·四川省初三期末）关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【答案】B
【解析】把x=2代入得，4-6+k=0，
解得k=2.
13．（2020·淮南第二中学初三）若，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．或
【答案】C
【解析】∵，∴
∴
∴原式=
14．（2020·哈尔滨市第十七中学初三一模）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解．则m的值是（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+m+1＝0，
解得，m＝1，
15．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．3
D．6
【答案】A
【解析】试题解析：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
16．（2019·内蒙古自治区初三期末）m是方程的一个根，且，则
的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】∵m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，
∴m2+nm+m=0，
∴m（m+n+1）=0；
又∵m≠0，
∴m+n+1=0，
解得m+n=-1；
17．（2019·吉林省初三期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（
）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．
【答案】B
【解析】把x=0代入方程得，解得a=±1．
∵原方程是一元二次方程，所以?，所以,故
18．（2020·广东省初三学业考试）一个三角形的三边长都是方程的根，则这个三角形的周长不可能是
A．6
B．9
C．12
D．15
【答案】B
【解析】方程即（x-2）（x-5）=0，
则x-2=0或x-6=0，
则x1=2，x2=5．
当三角形为等边三角形时，则其三边为2、2、2或5、5、5两种情况，则其周长为6或15，
当三角形为等腰三角形时，若底为2，则三角形三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，其周长为12，
若底为5，则三角形三边长为5、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的周长为6或15或12，
∴不可能是9，
19．（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）若方程是一元二次方程，则m的值为（
）
A．0
B．±1
C．1
D．–1
【答案】D
【解析】因为方程是一元二次方程,
所以,,
解得且
所以,
20．（2018·内蒙古自治区初三期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，-1
B．5，4
C．5，-4
D．5x2，-4x
【答案】C
【解析】一元二次方程5x2-4x-1=0的二次项系数和一次项系数分别为5，-4，
21．（2020·四川省初三期末）下列方程有实数根的是
A．
B．
C．+2x?1=0
D．
【答案】C
【解析】A．∵x4＞0，∴x4+2=0无解，故本选项不符合题意；
B．∵≥0，∴=?1无解，故本选项不符合题意；
C．∵x2+2x?1=0，
=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；
D．解分式方程=，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．
22．（2020·福建省初三一模）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
23．（2019·山东省青岛开发区育才中学初三月考）关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
【答案】A
【解析】A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
24．（2018·湖北省初三期中）已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A．m=n
B．m=n
C．m=n2
D．m=n2
【答案】D
【解析】
由题意得，
消去a,b,c,可得m=n2，故选D.
25．（2017·句容市文昌中学（句容市华阳中学文昌分校）初三竞赛）设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（
）。
A．
B．
C．
D．有无数个根
【答案】C
【解析】试题解析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x1=，x2=，
26．（2020·湖北省中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________．
【答案】n≥0
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
而，
∴n≥0，
故答案为：n≥0．
27．（2020·浙江省初三其他）已知关于x的方程x2﹣2x+2k＝0的一个根是1，则k＝_____．
【答案】
【解析】根据题意，得
x=1满足关于x的方程x2-2x+2k=0，则
1-2+2k=0，
解得，k=；
28．（2020·广东省初三其他）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为_____．
【答案】2023
【解析】由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
29．（2020·南通市八一中学初二月考）若ax2﹣5x+1＝0是一元二次方程，则不等式a+5＞0的解是_____；
【答案】a＞﹣5且a≠0
【解析】∵ax2-5x+1=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∵不等式a+5＞0，
∴a＞-5，
则a＞-5且a≠0．
30．（2020·安徽省芜湖一中初三）已知实数满足，，则的值为_______．
【答案】7
【解析】设
=a，=
b，则：a-=3，即a-3=＞0，；b+=3，即3-b=>
0；
由以上所得式子对比看，a，b的值为一个方程的两个根且a大b小
即a=，b=
∴=a+b=7
拓展提升
1．（2020·广西壮族自治区初三期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【解析】5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
2．（2018·陕西省初三期末）如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
【解析】由题意，得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0．
解得m＝﹣3．
即m的值是﹣3．
3．（2020·甘肃省初三其他）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，求k的值．
【答案】0．
【解析】将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0，得：k2﹣k＝0，
∴k＝1或k＝0，
∵k﹣1≠0，
∴k＝0
4．（2020·济南市济阳区实验中学初三零模）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值；
【答案】1
【解析】原式=，
∵，
∴，
∴原式=，
5．（2020·辽宁省初三二模）先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．
【解析】原式=．
∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6．
∴原式=．
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精品试卷·第
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第二十一章
一元二次方程
第1节
一元二次方程
基础巩固
1．（2020·余姚市兰江中学初二期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0
B．x2+2x+3＝0
C．y2+x＝1
D．＝1
2．（2020·四川省初三期中）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（
）
A．x﹣1=0
B．x2+5=0
C．x3+x=3
D．ax2+bx+c=0
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）下列方程属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·广西壮族自治区初三期末）下列方程中，是一元二次方程的为
A．
B．
C．
D．
5．（2020·盐城市盐都区实验初中初二月考）下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1
B．x2+1=2xy
C．x2+=3
D．x2=2x﹣3
6．（2020·甘肃省中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A．-1或2
B．-1
C．2
D．0
7．（2020·河南省初三其他）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（
）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
8．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）关于的一元二次方程有一个根为0，则值为（
）．
A．2或-2
B．2
C．-2
D．以上答案都不对
9．（2019·深圳市光明区高级中学初三月考）已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．1
B．0
C．0或1
D．0或﹣1
10．（2020·浙江省初二期中）若m是关于x的方程x2﹣2012x﹣1＝0的根，则（m2﹣2012m+3）?（m2﹣2012m+4）的值为（ ）
A．16
B．12
C．20
D．30
11．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校初三期中）若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1
B．m＝1
C．m≠0
D．m≥1
12．（2020·四川省初三期末）关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
13．（2020·淮南第二中学初三）若，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．或
14．（2020·哈尔滨市第十七中学初三一模）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解．则m的值是（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
15．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．3
D．6
16．（2019·内蒙古自治区初三期末）m是方程的一个根，且，则
的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
17．（2019·吉林省初三期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（
）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．
18．（2020·广东省初三学业考试）一个三角形的三边长都是方程的根，则这个三角形的周长不可能是
A．6
B．9
C．12
D．15
19．（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）若方程是一元二次方程，则m的值为（
）
A．0
B．±1
C．1
D．–1
20．（2018·内蒙古自治区初三期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，-1
B．5，4
C．5，-4
D．5x2，-4x
21．（2020·四川省初三期末）下列方程有实数根的是
A．
B．
C．+2x?1=0
D．
22．（2020·福建省初三一模）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
23．（2019·山东省青岛开发区育才中学初三月考）关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
24．（2018·湖北省初三期中）已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A．m=n
B．m=n
C．m=n2
D．m=n2
25．（2017·句容市文昌中学（句容市华阳中学文昌分校）初三竞赛）设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（
）。
A．
B．
C．
D．有无数个根
26．（2020·湖北省中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________．
27．（2020·浙江省初三其他）已知关于x的方程x2﹣2x+2k＝0的一个根是1，则k＝_____．
28．（2020·广东省初三其他）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为_____．
29．（2020·南通市八一中学初二月考）若ax2﹣5x+1＝0是一元二次方程，则不等式a+5＞0的解是_____；
30．（2020·安徽省芜湖一中初三）已知实数满足，，则的值为_______．
拓展提升
1．（2020·广西壮族自治区初三期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
2．（2018·陕西省初三期末）如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
3．（2020·甘肃省初三其他）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，求k的值．
4．（2020·济南市济阳区实验中学初三零模）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值；
5．（2020·辽宁省初三二模）先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．
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