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第二十一章
一元二次方程
第2节
解一元二次方程（配方法）
基础巩固
1．（2020·江苏省初二期中）用配方法解一元二次方程，以下正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·新疆维吾尔自治区初三二模）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2
B．（x+1）2＝2
C．（x+2）2＝3
D．（x+1）2＝3
3．（2020·四川省初三期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2
B．（x﹣2）2＝﹣2
C．（x﹣2）2＝2
D．（x﹣2）2＝6
4．（2020·山东省初三一模）用配方法将方程化成的形式，则，的值是（
）
A．-2，0
B．2，0
C．-2，8
D．2，8
5．（2020·山东省中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（
）
A．，21
B．，11
C．4，21
D．，69
6．（2020·盐城市盐都区实验初中初二月考）用配方法解一元二次方程x2-2x-1=0，配方后得到的方程是（
）
A．（x﹣1）2=2
B．（x﹣1）2=3??
C．（x+1）2=2
D．（x+1）2=3
7．（2020·湖北省初三月考）一元二次方程配方后可化为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·山东省初三期末）一元二次方程配方后可变形为（
）．
A．
B．
C．
D．
9．（2019·北京人大附中初二期中）用配方法解方程时，原方程变形为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·福建省初一月考）已知方程可以配方成
的形式，那么q的值是（
）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
11．（2020·湖北省初三期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+2）2＝3
B．（x+4）2＝3
C．（x+2）2＝﹣3
D．（x+2）2＝﹣5
13．（2019·深圳市光明区高级中学初三月考）用配方法解方程时，应将其变形为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·山西省初三月考）一元二次方程配方后可化为( )
A．
B．
C．
D．
15．（2020·湖南省初二月考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·江苏省初二月考）一元二次方程2x2＋6x＋3
0
经过配方后可变形为（
）
A．6
B．12
C．
D．
17．（2020·合肥市五十中学东校初二月考）用配方法解方程x2-4x-8=0时配方结果正确的是（
）
A．（x-2）2=8
B．（x-2）2=12
C．（x-4）2=8
D．（x-4）2=12
18．（2020·河南省初三一模）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·江苏省初三其他）用配方法解方程时，配方结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·山东省中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
21．（2020·余姚市兰江中学初二期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（
）
A．6
B．
C．
D．
22．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式
?x2+4x-2
的取值，下列说法正确的是（
）
A．有最小值-2
B．有最大值2
C．有最大值?6
D．恒小于零
23．（2020·渠县树德文武学校初一月考）若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
24．（2019·江苏省初三其他）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
25．（2019·重庆西南大学附中初二期中）代数式的最小值是（
）
A．10
B．9
C．19
D．11
26．（2020·山东省初一期中）已知，则=
__________________．
27．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
28．（2020·山东省初三其他）规定：，如：，若，则＝__.
29．（2020·东海晶都双语学校初一月考）对于有理数，定义的含义为：当时，；当时，.若，则的值等于____．
30．（2019·浙江省初二期中）已知，则的值等于______．
拓展提升
1．（2019·浙江省初二期中）解方程：(1)
;
(2)
2．（2020·浙江省初三月考）已知二次三项式4x2+8x+8，圆圆同学对其进行变形如下：
4x2+8x+8＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，所以圆圆得到结论：当x＝﹣1时，这个二次三项式有最小值为1．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
3．（2020·金昌市金川区宁远中学初二期中）已知△ABC三边满足，请你判断△ABC的形状，并说明理由．
4．（2020·黑龙江省初二期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
5．（2020·渠县崇德实验学校初一期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x
）2+
；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
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第二十一章
一元二次方程
第2节
解一元二次方程（配方法）
基础巩固
1．（2020·江苏省初二期中）用配方法解一元二次方程，以下正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，即，所以.
2．（2020·新疆维吾尔自治区初三二模）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2
B．（x+1）2＝2
C．（x+2）2＝3
D．（x+1）2＝3
【答案】B
【解析】∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
3．（2020·四川省初三期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2
B．（x﹣2）2＝﹣2
C．（x﹣2）2＝2
D．（x﹣2）2＝6
【答案】C
【解析】x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
4．（2020·山东省初三一模）用配方法将方程化成的形式，则，的值是（
）
A．-2，0
B．2，0
C．-2，8
D．2，8
【答案】C
【解析】
∴m=-2，n=8
5．（2020·山东省中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（
）
A．，21
B．，11
C．4，21
D．，69
【答案】A
【解析】
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
6．（2020·盐城市盐都区实验初中初二月考）用配方法解一元二次方程x2-2x-1=0，配方后得到的方程是（
）
A．（x﹣1）2=2
B．（x﹣1）2=3??
C．（x+1）2=2
D．（x+1）2=3
【答案】A
【解析】，移项得：；配方得；
7．（2020·湖北省初三月考）一元二次方程配方后可化为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
8．（2019·山东省初三期末）一元二次方程配方后可变形为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，即．
9．（2019·北京人大附中初二期中）用配方法解方程时，原方程变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方程，
变形得：，
配方得：，即，
10．（2020·福建省初一月考）已知方程可以配方成
的形式，那么q的值是（
）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】B
【解析】∵
∴
∴-2p=-4，
∴p=2
∴q=-1
11．（2020·湖北省初三期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
12．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+2）2＝3
B．（x+4）2＝3
C．（x+2）2＝﹣3
D．（x+2）2＝﹣5
【答案】A
【解析】∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=?1，
∴x2+4x+4=?1+4，
∴(x+2)
2=3.
13．（2019·深圳市光明区高级中学初三月考）用配方法解方程时，应将其变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
14．（2020·山西省初三月考）一元二次方程配方后可化为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
15．（2020·湖南省初二月考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】移项，得x2-6x=-4，
配方，x2-6x+9=5，
则（x-3）2=5．
16．（2020·江苏省初二月考）一元二次方程2x2＋6x＋3
0
经过配方后可变形为（
）
A．6
B．12
C．
D．
【答案】C
【解析】∵2x2＋6x＋3
0
∴
∴
∴
17．（2020·合肥市五十中学东校初二月考）用配方法解方程x2-4x-8=0时配方结果正确的是（
）
A．（x-2）2=8
B．（x-2）2=12
C．（x-4）2=8
D．（x-4）2=12
【答案】B
【解析】x2-4x-8=0，
移项得x2-4x=8，
配方得x2-4x+4=8+4，
即（x-2）2=12，
18．（2020·河南省初三一模）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据配方的正确结果作出判断：
．
19．（2020·江苏省初三其他）用配方法解方程时，配方结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
20．（2020·山东省中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
21．（2020·余姚市兰江中学初二期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（
）
A．6
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
22．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式
?x2+4x-2
的取值，下列说法正确的是（
）
A．有最小值-2
B．有最大值2
C．有最大值?6
D．恒小于零
【答案】B
【解析】?x2+4x-2=
∵，
∴，当且仅当时等号成立，
∴?x2+4x-2有最大值2
23．（2020·渠县树德文武学校初一月考）若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
【答案】C
【解析】∵x2+2mx+m2=（x+m）2，∴在x2+6x+m2中，6x=±2mx，m=±3．故选C．
点睛：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
24．（2019·江苏省初三其他）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】A
【解析】根据题意得:|x2–4x+4|+=0，所以|x2–4x+4|=0，=0，
即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．
25．（2019·重庆西南大学附中初二期中）代数式的最小值是（
）
A．10
B．9
C．19
D．11
【答案】A
【解析】
∵
∴代数式的最小值是10．
26．（2020·山东省初一期中）已知，则=
__________________．
【答案】8
【解析】由题可得：，
即，，解得：，．
∴．
27．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】x?4x?5=x?4x+4?4?5
=(x?2)
?9，
所以m=2，k=?9，
所以m+k=2?9=?7.
故答案为：-7
28．（2020·山东省初三其他）规定：，如：，若，则＝__.
【答案】1或-3
【解析】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得
x2+2x=3，
所以
（x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
29．（2020·东海晶都双语学校初一月考）对于有理数，定义的含义为：当时，；当时，.若，则的值等于____．
【答案】
【解析】∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2．
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0．
解得m=3，n=-2．
∴mn=3-2=．
故答案是：．
30．（2019·浙江省初二期中）已知，则的值等于______．
【答案】
【解析】
，
则，，
所以，，
所以．
故答案是：．
拓展提升
1．（2019·浙江省初二期中）解方程：(1)
;
(2)
【解析】(1)
∴，
(2)将方程变形为：
∴
∴
，
2．（2020·浙江省初三月考）已知二次三项式4x2+8x+8，圆圆同学对其进行变形如下：
4x2+8x+8＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，所以圆圆得到结论：当x＝﹣1时，这个二次三项式有最小值为1．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【解析】圆圆的解答错误；
4x2+8x+8＝4（x2+2x+1）+4＝4（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，这个二次三项式有最小值为4．
3．（2020·金昌市金川区宁远中学初二期中）已知△ABC三边满足，请你判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】△ABC是直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，．
∵，
∴△ABC是直角三角形．
4．（2020·黑龙江省初二期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【解析】∵满足a2+b2=10a+8b-41，
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-4）2≥0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4；
∴5-4＜c＜5+4，
∵c是最长边，
∴5＜c＜9．
5．（2020·渠县崇德实验学校初一期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x
）2+
；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【解析】（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
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