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第二十一章
一元二次方程
第2节
解一元二次方程（公式法）
基础巩固
1．（2020·全国初三月考）方程的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【解析】方程（x+2）2=3x+5化为一般式为x2+x-1=0,
∴△=12-4×(-1)=5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：C．
2．（2020·河北师范大学附属中学初三二模）关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的值可能是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
【答案】A
【解析】∵关于的方程没有实数根，
，，，
∴，
解得：．
观察选项，的值可能是．
3．（2020·河北省初三其他）已知关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】A
【解析】由题意得:,
解得.
故选A.
4．（2020·广东省初三其他）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x=0
B．（x﹣1）2=0
C．x2=1
D．x2+1=0
【答案】B
【解析】A.
，所以此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B.
方程化为一般形式为，，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C.
方程可化为，，方程有两个不相等的实数根；不符合题意；
D.
，方程没有实数根，不符合题意；
5．（2020·河北省初三二模）若，，为常数，且，则关于的方程根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个根
【答案】C
【解析】∵，∴，即，则，即该方程为一元二次方程，
又∵，则有两个不相等的实数根．
6．（2020·湖北省初三期中）一元二次方程的根为（
）
A．x=3
B．x=-3
C．x1=3，x2=-3
D．x=9
【答案】C
【解析】，
，
，
即，.
7．（2020·广西壮族自治区南宁三中初三三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．4
B．2
C．1
D．﹣4
【答案】A
【解析】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
8．（2020·广东省初三其他）已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k＜
C．k＜﹣
D．k＜
【答案】B
【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4?2k＞0，
解得k＜．
9．（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤
B．c≤
C．c≥
D．c≥
【答案】A
【解析】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
解得：c≤，
故选：A．
10．（2020·山东省中考真题）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：∵中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=，
即，，故选B.
11．（2020·河南省初三其他）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】D
【解析】解：化为一般形式为，
其中a=1，b=-1，c=1，
，
∴该方程没有实数根．
12．（2020·云南省初三学业考试）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2?4ac=0，
又a+b+c=0，即b=?a?c，
代入b2?4ac=0得(?a?c)2?4ac=0，
即(a+c)2?4ac=a2+2ac+c2?4ac=a2?2ac+c2=(a?c)2=0，
∴a=c
13．（2020·湖北省中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
14．（2020·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学初三三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，m为整数且，若t是满足该条件时方程的一个根，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．7
【答案】A
【解析】解：由题意有：，
解得m＞0且m≠1．
∵m为整数且m＜3，
∴m=2．
把m=2代入方程得
∵t是该方程的一个根，
∴，即
∴．
15．（2019·济南市莱芜实验学校初二期中）已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
【答案】C
【解析】原方程整理得(a+c)+2bx+a?c=0，
因为两根相等，
所以△=?4ac
=?4×(a+c)×(a?c)
=4+4?4
=0，
即+=，
所以△ABC是直角三角形．
16．（2020·江苏省初三其他）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．
【答案】5
【解析】解：x2﹣3x+1＝0
△==（-3）2-4×1×1=9-4=5．
故答案为5．
17．（2020·云南省初三二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________．
【答案】10
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根
∴Δ=36-4(m-1)=0,
解得m=10
故答案为：10
18．（2020·吉林省初三一模）关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为________.
【答案】6
【解析】由已知可得：△>0
即，52-4k>0,解得k<6．25
所以k可取的最大整数为6
19．（2020·仪征市实验中学初三三模）已知m是一元二次方程的根，若，，则m的值为____．
【答案】2
【解析】解：∵，，
∴
∴，
∴
∴，
∵
即有：
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
20．（2020·内蒙古自治区初三三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是，则所有符合条件的整数m的个数是_______．
【答案】4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-3x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m-1≠0且△=（-3）2-4（m-1）＞0，解得m＜且m≠1，
∵解不等式组，得，
而此不等式组的解集是x＜-1，
∴m≥-1，
∴-1≤m＜且m≠1，
∴符合条件的整数m为-1、0、2、3．
故答案为4．
拓展提升
1．（2020·重庆初一月考）求满足下列式子的未知数的值
（1）
（2）
【解析】（1）
（2）
或
，
2．（2020·江苏省初三其他）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【解析】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
3．（2020·北京初三二模）关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【解析】解：(1)∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，
∴△=(-2)2-4(m-2)=4-4m+8=12-4m．
∵12-4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
(2)∵m≤3且m≠2，∴m=1或3，
∴当m=1时，原方程为-x2-2x+1=0.
x1=-1-，x2=-1+.
当m=3时，原方程为x2-2x+1=0.
x1=x2=1．
4．（2020·广东省中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【解析】解：由题意列方程组：
解得
将，分别代入和
解得，
∴，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴该三角形是等腰直角三角形．
5．（2020·山东省初三其他）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
【解析】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+2，AB?AC＝2m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB?AC＝BC2，
即（m+2）2﹣2×2m＝32，
解得：m＝±
，
∴m的值是±．
又∵AB?AC＝2m，m为正数，
∴m的值是．
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一元二次方程
第2节
解一元二次方程（公式法）
基础巩固
1．（2020·全国初三月考）方程的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
2．（2020·河北师范大学附属中学初三二模）关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的值可能是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
3．（2020·河北省初三其他）已知关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
4．（2020·广东省初三其他）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x=0
B．（x﹣1）2=0
C．x2=1
D．x2+1=0
5．（2020·河北省初三二模）若，，为常数，且，则关于的方程根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个根
6．（2020·湖北省初三期中）一元二次方程的根为（
）
A．x=3
B．x=-3
C．x1=3，x2=-3
D．x=9
7．（2020·广西壮族自治区南宁三中初三三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．4
B．2
C．1
D．﹣4
8．（2020·广东省初三其他）已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k＜
C．k＜﹣
D．k＜
9．（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤
B．c≤
C．c≥
D．c≥
10．（2020·山东省中考真题）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．（2020·河南省初三其他）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
12．（2020·云南省初三学业考试）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
13．（2020·湖北省中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学初三三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，m为整数且，若t是满足该条件时方程的一个根，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．7
15．（2019·济南市莱芜实验学校初二期中）已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
16．（2020·江苏省初三其他）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．
17．（2020·云南省初三二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________．
18．（2020·吉林省初三一模）关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为________.
19．（2020·仪征市实验中学初三三模）已知m是一元二次方程的根，若，，则m的值为____．
20．（2020·内蒙古自治区初三三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是，则所有符合条件的整数m的个数是_______．
拓展提升
1．（2020·重庆初一月考）求满足下列式子的未知数的值
（1）
（2）
2．（2020·江苏省初三其他）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
3．（2020·北京初三二模）关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
4．（2020·广东省中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
5．（2020·山东省初三其他）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
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