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第二十一章
一元二次方程
第2节
解一元二次方程（因式分解法）
基础巩固
1．（2020·四川省初三二模）已知，是方程的两根，下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴或，
∴，故选项A结论正确；
，故选项B结论错误；
，故选项C结论正确；
，，故选项D结论正确；
2．（2020·四川省初三一模）方程x2﹣3x+2＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2
D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】A
【解析】原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0,
∴x1＝1，x2＝2．
3．（2020·江苏省汇文实验初中初二月考）若实数、满足，则a2+b2的值为（
）
A．-5
B．-2或5
C．2
D．-5或-2
【答案】C
【解析】令a2+b2=m，
原式可化为：，
即，
解得：m=-5或m=2，
因为a2+b2＞0
所以m=2
a?+b?=2
故答案为C.
4．（2019·广西壮族自治区初三期末）一元二次方程x2﹣4x
=
0的根是（
）
A．x1
=0，x2
=4
B．x1
=0，x2
=﹣4
C．x1
=x2
=2
D．x1
=x2
=4
【答案】A
【解析】∵一元二次方程x2﹣4x=0，
∴x（x-4）=0，
∴x1=0，x2=4，故选：A．
5．（2020·广东省中大附属外国语实验中学初三期末）方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，得
x=0，x+2=0
∴
6．（2020·湖南省中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
【答案】A
【解析】x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
7．（2020·南通市启秀中学初三三模）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（
）
A．0
B．1或2
C．1
D．2
【答案】D
【解析】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，故选：D．
8．（2020·山东省初三其他）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12
B．14
C．15
D．12或14
【答案】A
【解析】解方程
得
即第三边的边长为5或7.
∵1<第三边的边长<7，
∴第三边的边长为5.
∴这个三角形的周长是3+4+5=12.
9．（2020·余姚市兰江中学初二期中）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．12
【答案】B
【解析】①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2?6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36?4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2?6x＋k＝0的其中一根，
代入得4?12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2?6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
10．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴x（﹣x+6）=5，化简，
解得，，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）=5，
化简，
解得，（舍去），
∴P3（，），
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
11．（2020·山东省初三期中）关于的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是（
）
A．－1
B．－4
C．1
D．3或－1
【答案】C
【解析】∵关于的方程是一元二次方程，
∴
解得：m=-1
∴该一元二次方程为
∴它的一次项系数是1
故选C．
12．（2020·平江县南江中学初三二模）定义表示不超过的最大整数，如，，，函数的图象如图所示，则方程的解为（
）
A．0或
B．1或2
C．1或
D．或
【答案】A
【解析】当1≤x＜2时，x2=1，解得x1=，x2=-（舍去）；
当0≤x＜1时，x2=0，解得x=0；
当-1≤x＜0时，x2=-1，方程没有实数解；
当-2≤x＜-1时，x2=-2，方程没有实数解；
所以方程[x]=
x2的解为0或．
13．（2020·四川省初三月考）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，
BD=4，CF=6，
则AO的长是
（
）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】如图，设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2或x＝﹣12（舍去），
即正方形ADOF的边长AD=2，
所以．
故选：B．
14．（2020·河北省初三二模）关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（
）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
【答案】B
【解析】原方程可以化为，当时，方程有实数解，即．
因此当时，方程没有实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
当时，，，．
当时，由可以求得，
则有.
故选B．
15．（2017·天津市西沽中学初三其他）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（
）
A．，∴或
B．，∴或
C．，∴或
D．，∴
【答案】A
【解析】
用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
详解:
用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
所以第一个正确．
16．（2019·内蒙古自治区初三期末）若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
【答案】1
【解析】，
，
∵关于x的方程和的解完全相同，
∴a=1，
故答案为：1．
17．（2020·扬中市外国语中学初一期中）若式子成立，则___________
【答案】
【解析】由（x-3）0可得x-3≠0，即x≠3时，（x-3）0=1，
∵，
∴，即，
∴，
则或，
∴（舍去）．
18．（2020·山西省初三一模）方程的解为_______．
【答案】，
【解析】
或
解得：，
19．（2020·湖北省中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【解析】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
20．（2020·辽宁省中考真题）如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_________．
【答案】5
【解析】由题意可得：直线MN是AB的垂直平分线，∴EA=EB，
设BE=AE=x，则AC=x+3，
∵AC=2BC，
∴，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得，
即，解得：（舍去），
∴BE=5．
拓展提升
1．（2018·长春吉大附中力旺实验中学初二月考）用适当方法解方程：
（1）
（2）
（3）
【解析】(1)，
直接开平方得：，
；
(2)，
提公因式得：，
；
(3)，
∵，，，
∴，
∴，
．
2．（2020·山东省初三三模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【解析】（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4（m﹣1）×2=﹣8m+17，
依题意，得
，
解得且m≠1；
（2）∵m为正整数，结合（1），
∴m=2，
∴原方程为x2﹣3x+2=0，
即，
解得x1=1，x2=2．
3．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元，问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？
【解析】设进价是x元，由题意得
或(舍去)
经检验x=20是原方程的解
所以；
答：这批玩具每个的进价是20元，共购进90个玩具．
4．（2020·黑龙江省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒
（1）线段______；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解析】（1）解方程得：(舍去)，
∴AB=6，
∵四边形是矩形，，
∴AB=CD=6，BD=2AB=12，
∴BC=AD=，
∵，
∴，
故答数为：；
（2）如图1，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴MH=MD=，
∵∠DBC=30°，CN⊥BD，
∴BN=，
当点P在线段BN上即时，
△PMN的面积；
当点P与点N重合即时，s=0，
当点P在线段ND上即时，
△PMN的面积；
∴；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN=PM=9-2t时，则DM=，MH=DM=，DH=，
∵，
∴，
解得：或，
即或，
则BE=或BE=，
∴点P的坐标为(，)或(，)；
当PN=NM=9-2t时，
∵，
∴，
解得或24（不合题意舍去），
∴BP=6，PE=BP=3，BE=PE=3
∴点P的坐标为(，)，
综上所述：点P坐标为(，)或(，)
．
5．（2020·广东省广东实验中学初三一模）对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
【解析】（1）∵﹣7＜﹣2，
∴（﹣7）
（﹣2）＝14﹣4＝10；
（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
当x1＝﹣1，x2＝6时，x1
x2＝﹣6﹣36＝﹣42；
当x1＝6，x2＝﹣1时，x1
x2＝36+6＝42．
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精品试卷·第
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一元二次方程
第2节
解一元二次方程（因式分解法）
基础巩固
1．（2020·四川省初三二模）已知，是方程的两根，下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·四川省初三一模）方程x2﹣3x+2＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2
D．x1＝﹣1，x2＝2
3．（2020·江苏省汇文实验初中初二月考）若实数、满足，则a2+b2的值为（
）
A．-5
B．-2或5
C．2
D．-5或-2
4．（2019·广西壮族自治区初三期末）一元二次方程x2﹣4x
=
0的根是（
）
A．x1
=0，x2
=4
B．x1
=0，x2
=﹣4
C．x1
=x2
=2
D．x1
=x2
=4
5．（2020·广东省中大附属外国语实验中学初三期末）方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·湖南省中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
7．（2020·南通市启秀中学初三三模）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（
）
A．0
B．1或2
C．1
D．2
8．（2020·山东省初三其他）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12
B．14
C．15
D．12或14
9．（2020·余姚市兰江中学初二期中）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．12
10．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．（2020·山东省初三期中）关于的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是（
）
A．－1
B．－4
C．1
D．3或－1
12．（2020·平江县南江中学初三二模）定义表示不超过的最大整数，如，，，函数的图象如图所示，则方程的解为（
）
A．0或
B．1或2
C．1或
D．或
13．（2020·四川省初三月考）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，
BD=4，CF=6，
则AO的长是
（
）
A．
B．
C．
D．4
14．（2020·河北省初三二模）关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（
）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
15．（2017·天津市西沽中学初三其他）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（
）
A．，∴或
B．，∴或
C．，∴或
D．，∴
16．（2019·内蒙古自治区初三期末）若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
17．（2020·扬中市外国语中学初一期中）若式子成立，则___________
18．（2020·山西省初三一模）方程的解为_______．
19．（2020·湖北省中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
20．（2020·辽宁省中考真题）如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_________．
拓展提升
1．（2018·长春吉大附中力旺实验中学初二月考）用适当方法解方程：
（1）
（2）
（3）
2．（2020·山东省初三三模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
3．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元，问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？
4．（2020·黑龙江省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒
（1）线段______；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
5．（2020·广东省广东实验中学初三一模）对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
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