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1．1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？
①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．
②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
③自然数的集合0,1,2,3，……
④高一(5)班全体同学组成一个集合．
请想一想，集合这个概念应该怎样描述？
一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为 ，把一些 组成的总体叫做 ，通常用 表示．
2．元素与集合的关系用符号 表示．
3．集合中元素的性质(或称三要素)：
．
元素
元素
集合
大写拉丁字母A、B、C，…
∈、
确定性、互异性、无序性
(1)给定的集合中的元素必须是确定的．
“我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？
答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准．
(2)集合中的元素必须是互不相同的，由1，－1,1,3组成的集合为 ；若a∈{a2,1}则a＝ .
(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合 ，若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝ .
4．常见的数集符号：自然数集： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ；实数集： .
5．把集合中的元素一一列举出来．
并用 括起来表示集合的方法叫做 ，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表示为 ．
{1，－1,3}
相等
2
N
N＋
Z
Q
R
花括号“{ }”
列举法
{0,2,4,6,8}
0
用列举法表示下列集合：
(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为
．
(2)方程|x－1|＝3的解集为 ．
(3)绝对值小于3的整数的集合为 ．
{－1,1，－4,2}
{－2,4}
{－2，－1,0,1,2}
6．用集合所含元素的 表示集合的方法，称作描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的 ，再画一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的 ．它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“ ”为代表元素，“ ”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法．
共同特征
一般符号及取值(或变化)范围
共同特征
x
p(x)
1°试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－3x＋2＝0的解集为 ．
(2)不等式3x＋2>0的解集为 ．
(3)大于1小于5的整数组成的集合为 ．
2°用列举法表示下列集合：
(1)6的正约数组成的集合．________
(2)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________
(3)古代我国的四大发明组成的集合．________
(4)A＝{x|0(5)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．________
{x|x2－3x＋2＝0}
{x|3x＋2>0}
{x∈Z|1[解析] (1)6的正约数为1,2,3,6，故所求集合为{1,2,3,6}
(2)不等式2x－1＜5变形为x＜3，因此它的自然数解为0,1,2，故所求集合为{0,1,2}
(3)古代我国的四大发明为：指南针，造纸，火药，印刷术，形成集合为{指南针，造纸，火药，印刷术}．
(4)A＝{1,2,3,4,5}．
(5)B＝{2,3}．
本节重点：集合的概念，集合中元素的三个特性及集合的表示方法．
本节难点：集合中元素的性质的理解．
正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键．
1．要辩证理解集合和元素这两个概念：
(1)符号∈和 是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．
(2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
2．深刻认识集合中元素的四种属性
(1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合．
(2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．
(3)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全不同时，它们也表示同一集合．
例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合．
(4)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集合中的元素都是互不相同的个体．如：给出集合{1，a2}，我们根据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1.
3．正确理解列举法
(1)元素间用分隔号“，”隔开；
(2)元素不重复；
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．
4．合理选用集合的表示方法
列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法，因为不能将集合中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．
5．要正确理解描述法
用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元素具有怎样的属性？
用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主要研究对象．
(1)一般数集．
(2)特殊数集：如方程的解集；不等式的解集等．
(3)平面点集．
(4)图形集．
7．集合语言
集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．包括文字语言、符号语言、图形语言．
要熟练地将集合的三种语言进行相互转化．
8．解集合问题的关键
解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．
例如，在判断集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A＝{…，－1,1,3,5，…}，而B＝{…，－1,1,3,5…}
∴A与B是同一集合．
[例1] 下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体；
⑤ 的近似值的全体．
其中能构成集合的组数是 ( )
A．2组 B．3组
C．4组 D．5组
[分析] 集合中的元素必须是确定的．
[解析] “接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“ 的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.
下列各条件中，能够成为集合的是 ( )
A．与 非常接近的正数
B．世界著名的科学家
C．所有的等腰三角形
D．全班成绩好的同学
[答案] C
[解析] 对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.
[分析] 本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．
若x∈{1,3，x3}，则有 ( )
A．x＝0或x＝－1
B．x＝－1或x＝3
C．x＝0或x＝－1或x＝3
D．x＝0或x＝3
[答案] C
[解析] ∵x∈{1,3，x3} ∴x＝1或3或x3
当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，
∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
[例3] 若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．
[解析] ∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素
即{x，x2}一定含有－1这个元素
由于x2≥0，∴x＝－1.
[例4] 将下列集合改为用符号语言描述：
(1)非负奇数集
(2)能被3整除的整数的集合
(3)第一象限和第三象限内的点的集合
(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集合．
[分析] 从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式．
[解析] (1){x|x＝2k－1，k∈N*}；
(2){n|n＝3k，k∈Z}；
(3){(x，y)|xy＞0}；
[点评] 要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益.
[例5] 用适当的方法表示下列集合：
(1)24的正约数组成的集合；
(2)大于3小于10的整数组成的集合；
(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；
(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；
[分析] 首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合．
[解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}；
(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；
(3){x|x2＋ax＋b＝0}；
(4){(x，y)|x<0且y＞0}；
[点评] 1.在表示集合时，选择表示法的原则为：让所表示的集合明确、直观、简捷．
2．在(5)的方程的解集中只有一个元素(－3,2)，不要认为这是两个元素，表达为{－3,2}．
用描述法表示下列集合．
(1){－1,1}；
(2)大于3的全体偶数构成的集合；
(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线上所有的点．
[解析] (1){x||x|＝1}；
(2){x|x>3且x＝2n，n∈Z}；
(3){P|P在平面α内且PA＝PB}．
[例6] 下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
[分析] 对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．
[解析] (1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同．∴它们是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，
∵当x∈R时，y＝x2＋1有意义．
∴{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，
满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，
∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
总结评述：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符号语言的认识.
总结评述：用列举法表示集合，就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来．
[例8] 已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
②A中一个元素也没有，即A＝ ，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；
综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．
已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________．
[分析] 题中给出数集A满足的条件．解答此题就从此条件入手．逐步推出结论．
[例10] 集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．
[错解] 由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，
由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，
则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C
[辨析] 集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6 C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性．
[正解] 设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，
则a＋b＝3(m＋t)＋3，
当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，
有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；
当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，
有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b C
综上可知不一定有a＋b∈C.
一、选择题
1．给出下面四个关系： ∈R,0.7 Q,0∈{0},0∈N.其中正确的个数是
( )
A．1个 B．3个
C．2个 D．4个
[答案] B
[解析] 0.7为有理数，故0.7 Q不正确．
2．下列集合表示方法正确的是
( )
A．方程(x－1)(x－2)2(x－4)＝0的解集为{1,2,2,4}
B．不等式x－5＞0的解集为{x－5＞0}
C．所有奇数构成的集合为{x∈Z|x＝2k＋1}
D．所有偶数构成的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
[答案] D
[点评] 应注意C与D的区别，C中x∈Z，并没要求k∈Z，故是错误的，若改为{x|x＝2k＋1，k∈Z}则为正确的．
二、填空题
3．用符号∈或 填空：
(1)1________{1} (2)a________{a，b，c}
(3)－3________{4，－2} (4)0________N*
(5)π________Q (6) ________R
(7)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
(8)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
(9)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C；
(10)若D＝{x∈Z|－2＜x＜3}，则1.5________D.
[答案] (1)∈；(2)∈；(3) ；(4) ；(5) ；(6)∈；(7) ；(8) ；(9)∈；(10) .
[点评] 如果a是集合A的元素，记作a∈A，否则记作a A，N*、Q、R分别表示正自然数集、有理数集、实数集．
4．若－3∈{a－3,2a－1，a2－4}，则实数a构成的集合为________．
[答案] {0,1}
[解析] 当a－3＝－3时，a＝0，此时集合为{－1，－3，－4}；当2a－1＝－3时，a＝－1，此时a2－4＝－3，与集合元素的互异性矛盾．若a2－4＝－3，则a＝±1，a＝－1已讨论．当a＝1时，集合为{－2,1，－3}，综上所述a＝0或1.
三、解答题
5．用列举法表示下列集合
(2)B＝{y|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}
(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}
[解析] (1)要使x， 都是整数，故|2－x|必是6的约数，当x＝－4，－1,0,1,3,4,5,8时，|2－x|是6的约数．∴A＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}
(2)由y＝－x2＋8，x∈N，y∈N知，y≤8，所以当x＝0,1,2时，y＝8，7,4符合题意．∴B＝{4,7,8}
(3)集合C中的元素是点，这些点必须满足两个条件①它是抛物线y＝－x2＋8上的点，②这些点的横坐标、纵坐标都必须是自然数．
6．下面两个集合的意义是否相同？为什么？
{x|x2－ax－1＝0}，{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}．
[解析] 集合{x|x2－ax－1＝0}中的元素x是方程x2－ax－1＝0的实数解；集合{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}中的元素a是使方程x2－ax－1＝0有实数根的字母系数a的取值范围，这两个集合中的元素的含义是不同的．
7．下列集合，哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合；
(2)线段AB上的点的全体构成的集合；
(3)把线段AB等分为100等份的点的全体构成的集合；
(4)以点M为中点的所有线段构成的集合．
[解析] (1)有限集．(2)无限集．(3)有限集．(4)无限集．1.1.1集合的含义与表示 ( file: / / / H:\\资料\\高一数学\\1-1-1.ppt" \t "_parent )
一、选择题
1．方程组的解集是( )
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[答案] D
[解析] 解方程组得
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
2．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A．4 B．5
C．10 D．12
[答案] D
[解析] 12能被x＋3整除．∴y＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.
3．集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．无数个
[答案] C
[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素，因此选C.
4．已知a、b、c为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是( )
A．0 M B．－4 M
C．2∈M D．4∈M
[答案] D
[解析] a、b、c皆为负数时代数式值为－4，a、b、c二负一正时代数式值为0，a、b、c一负二正时代数式值为0，a、b、c皆为正数时代数式值为4，∴M＝{－4,0,4}．
5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B．{(x，y)|x＝0且y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x，y不同时为零}
[答案] C
[解析] 在x轴上的点(x，y)，必有y＝0；在y轴上的点(x，y)，必有x＝0，∴xy＝0.
6．集合M＝{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}的意义是( )
A．第二象限内的点集
B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集
D．不在第一、三象限内的点的集合
[答案] D
[解析] ∵xy≤0，∴xy＜0或xy＝0
当xy＜0时，则有或，点(x，y)在二、四象限，
当xy＝0时，则有x＝0或y＝0，点(x，y)在坐标轴上，故选D.
7．方程组的解(x，y)构成的集合是( )
A．(5,4) B．{5，－4}
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
[答案] D
[解析] 首先A，B都不对，将x＝5，y＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D.
*8.集合S＝{a，b，c}中的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] D
[解析] 由集合元素的互异性知，a、b、c两两不等．
9．设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[答案] C
[解析] ∵{1，a＋b，a}＝{0，，b}，
∴a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴＝－1，
∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.故选C.
10．设集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,1,3}，若集合P＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且x≠y}，则集合P中元素个数为( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．8个
[答案] D
[解析] x∈A，对于x的每一个值，y都有3个值与之对应，但由于x≠y，∴x＝1，y＝1，不合题意，故共有3×3－1＝8个．
[点评] 可用列举法一一列出：
P＝{(0，－1)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)}．
二、填空题
11．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．
[答案] {(2,4)，(5,2)，(8,0)}
[解析] ∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，
∴y为偶数且y≤5，
∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.
12．已知A＝{1,0，－1,2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
[答案] {1,0,2}
[解析] 当x＝1时，y＝1；x＝0时，y＝0；x＝－1时，y＝1；x＝2时，y＝2，∴B＝{1,0,2}．
13．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．
[答案] 2或4
[解析] ∵a∈A，∴a＝2或a＝4或a＝6，而当a＝2和a＝4时，6－a∈A，∴a＝2或a＝4.
三、解答题
14．用列举法表示集合．
(1)平方等于16的实数全体；
(2)比2大3的实数全体；
(3)方程x2＝4的解集；
(4)大于0小于5的整数的全体．
[解析] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．
15．用描述法表示下列集合：
(1){0,2,4,6,8}；
(2){3,9,27,81，…}；
(3)；
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
[解析] (1){x∈N|0≤x<10，且x是偶数}．
(2){x|x＝3n，n∈N＋}．
(3){x|x＝，n∈N＋}．
(4){x|x＝5n＋2，n∈Z}．
*16.设A表示集合{2,3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|,2}，若已知5∈A，且5 B，求实数a的值．
[解析] ∵5∈A，且5 B，∴
即∴a＝－4.
17．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[分析] 集合A是方程ax2－3x－4＝0的解集．A中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a≠0；A中至多有一个元素，则a≠0时，应有Δ≤0；a＝0时，恰有一个元素．
[解析] (1)∵A中有两个元素，∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴，即a>－且a≠0.
(2)当a＝0时，A＝{－}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
*18.设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2008＋b2007.
[解析] 解法1：∵A＝B，∴或
解方程组得，或或a＝1，b为任意实数．
由集合元素的互异性得a≠1，
∴a＝－1，b＝0，故a2008＋b2007＝1.
解法2：由A＝B，可得
即
因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.
解方程组得，a＝－1，b＝0.故a2008＋b2007＝1.(共54张PPT)
1．1.2 集合间的基本关系
1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 ，记作A B(或B A)．用图表示为
．
子集
用平面上封闭曲线的 表示集合的方法称作图示法．这种图称作Venn图．
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 是任何集合的子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集．
(3)对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么A C；
内部
空集
(4)集合A不包含于集合B(A B)包括如下图所示几种情况：
3．集合相等与真子集
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若A B，且B A，则A＝B)
如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 ，则称A是B的真子集．
值得说明的是：
x A
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集 是任何非空集合的真子集；
不是
本节重点：子集的概念．
本节难点：属于与包含之间的区别．
1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
(1)∈与 的区别
∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1 N等； 和?表示集合与集合之间的关系，因此有N R， ?R等，要正确区分属于和包含关系．
(2)a与{a}的区别
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}?{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a} {a，b，c}．
(3)空集是集合中的特殊现象，A B包括A＝ 的情形容易漏掉，解题时要特别留意．
(4){0}与 的区别
{0}是含有一个元素0的集合， 是不含任何元素的集合，因此有 ?{0}， ＝{0}与 ∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
3．正确地理解子集、真子集的概念
如果A是B的子集(即A B)，那么有A是B的真子集(A?B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A?B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A?B)也可以说A是B的子集(A B)；A＝B也可以说A是B的子集(A B)．要注意A B与B A是同义的，而A B与B A是不同的．
4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．
总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错.
[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，
B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，
(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，
B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
[解析] (1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数，
∴B A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1.
由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B.
故A B.综上所述，A＝B.
(2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A? B.
(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B A.
又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2) B，∴B? A.
总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A B与B A同时成立即可．
②已知A B，证明A? B，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同理要说明A B成立，须给出严格的证明过程，但要说明A B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0 B即可．
③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关．
指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{x|x是两组对边分别平行的四边形}，
B＝{x|x是一组对边平行且相等的四边形}．
(2)A＝{x|x是能被3整除的数}，
B＝{x|x是能被6整除的数}．
(3)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}．
[解析] (1)∵A＝{平行四边形}，B＝{平行四边形}，∴A＝B.
(2)∵能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除的数一定能被3整除，∴B? A.
(3)∵x>5 x>3，但x>3 / x>5，∴B? A.
[例3] 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M? N，则
( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
[分析] 为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．
[解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M?N的情况如图，显见a＜1，故选B.
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M N；④M N；⑤M? N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B A，则a的取值范围是________；
(2)若A B，则a的取值范围是________；
(3)若A?B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[解析] (1)若B A应满足a≤3；
(2)若A B应满足a≥3；
(3)A?B应满足a>3；
(4)若A＝B则a＝3.
[例4] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B A，求实数a的值．
[分析] B A包括B＝A与B?A两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B? A时，有B＝ 或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．
[解析] A＝{－4,0}
1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.
2°若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
∴a＜－1，
3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，
经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
综上所述a＝1或a≤－1.
[点评] ①B?A时，容易漏掉B＝ 的情况；
②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证B?A是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行．
本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝ .
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B A，求p、q满足的条件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A B，A≠ .
∴A＝{1}，{2}或{1,2}．
(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；
(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
[例5] 已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．
[分析] 有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．
[解析] (1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，
∴x＝y＝－1.
*
(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16 A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，
又－2 A∪B，∴a＝2.
[例6] (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．
[解析] (1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集 ，因此集合A共有8个子集．
(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
{a1，a2} A {a1，a2，a3，a4，a5}，求满足上述条件的集合A的个数．
[解析] 集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即{a3，a4，a5}的子集总数为23＝8个，∴这样的集合A共有8个．
[例7] 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的值．
[错解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵B?A，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
[辨析] 要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B? A，求m的值．
在这里未考虑“B＝ ，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．
一、选择题
1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若 ? A，则A≠ ，其中正确的个数是
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．
[答案] D
二、解答题
3．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．
(1)B＝{x|x∈A}；
(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；
(3)D＝{x|x A}．
[解析] (1)B＝{－1,1}．
(2)C＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(3)D＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A，求m的取值集合．
[解析] ∵B A且B≠ ，
故所求集合为{m|2≤m≤3}．
若把条件B A，改为(1)B? A或(2)A? B，请再求实数m的取值集合．
5．已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．
[分析] 先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．
[解析] 集合A的子集分别是： ，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.1.1.2集合间的基本关系 ( file: / / / H:\\资料\\高一数学\\1-1-2.ppt" \t "_parent )
一、选择题
1．对于集合A，B，“A B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
[答案] C
[解析] “A B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2．集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}那么( )
A．P ?M B．M?P
C．M＝P D．MP
[答案] C
[解析] 由xy>0知x与y同号，又x＋y<0
∴x与y同为负数
∴等价于∴M＝P.
3．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A C，B C，则集合C中元素最少有( )
A．2个 B．4个
C．5个 D．6个
[答案] C
[解析] A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，
∵A C，B C，
∴集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素．
4．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}且B A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ∵B A，∴x2∈A，又x2≠1
∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±或x＝0.故选C.
5．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A．M?P B．P?M
C．M＝P D．M、P互不包含
[答案] D
[解析] 由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.
6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}；集合A满足A B，A C.则满足条件的集合A的个数是( )
A．8 B．2
C．4 D．1
[答案] C
[解析] ∵A B，A C，∴集合A中的元素只能由a或b构成．∴这样的集合共有22＝4个．
即：A＝ ，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}．
7．设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M与N的关系不确定
[答案] B
[解析] 解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得
M＝{…－，－，，，…}，
N＝{…0，，，，1…}，
∴M?N，故选B.
解法2：集合M的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，集合N的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M?N，故选B.
[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．
8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8
C．7 D．4
[答案] C
[解析] 因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集个数为23－1＝7.
9．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
[答案] B
[解析] 由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N?M，选B.
10．如果集合A满足{0,2}?A {－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 集合A里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．
二、填空题
11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．
[答案] A?D?B?C?E
[解析] 由各种图形的定义可得．
12．集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则集合M与集合P的关系为________．
[答案] M?P
[解析] P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}
＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈N*}
∵a∈N* ∴a－2≥－1，且a－2∈Z，即a－2∈{－1,0,1,2，…}，而M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，∴M?P.
13．用适当的符号填空．(∈， ， ， ，?，?，＝)
a________{b，a}；a________{(a，b)}；
{a，b，c}________{a，b}；{2,4}________{2,3,4}；
________{a}．
[答案] ∈， ，?，?，?
*14.已知集合A＝，
B＝{x|x＝－，b∈Z}，
C＝{x|x＝＋，c∈Z}．
则集合A，B，C满足的关系是________(用 ，?，＝，∈， ， 中的符号连接A，B，C)．
[答案] A?B＝C
[解析] 由－＝＋得b＝c＋1，
∴对任意c∈Z有b＝c＋1∈Z.
对任意b∈Z，有c＝b－1∈Z，
∴B＝C，又当c＝2a时，有＋＝a＋，a∈Z.
∴A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系．
15．(09·北京文)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1 A，那么k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．
[答案] 6
[解析] 由题意，要使k为非“孤立元”，则对k∈A有k－1∈A.∴k最小取2.
k－1∈A，k∈A，又A中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k＋1.所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．
三、解答题
16．已知A＝{x∈R|x＜－1或x＞5}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若A?B，求实数a的取值范围．
[解析] 如图
∵A?B，∴a＋4≤－1或者a＞5.
即a≤－5或a＞5.
17．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B A时，求实数a的取值范围．
[解析] ∵A＝{x|x<－1或x>2}，
B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－}，
∵A B，∴－≤－1，即a≥4，
所以a的取值范围是a≥4.
18．A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，a、x∈R，求：
(1)使A＝{2,3,4}的x的值；
(2)使2∈B，B?A成立的a、x的值；
(3)使B＝C成立的a、x的值．
[解析] (1)∵A＝{2,3,4} ∴x2－5x＋9＝3
解得x＝2或3
(2)若2∈B，则x2＋ax＋a＝2
又B?A，所以x2－5x＋9＝3得x＝2或3，将x＝2或3分别代入x2＋ax＋a＝2中得a＝－或－
(3)若B＝C，则
①－②得：x＝a＋5 代入①解得a＝－2或－6
此时x＝3或－1.
*19.已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.
[解析] 由题设条件知C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}，∴C {4,7}，∵C≠ ，∴C＝{4}，{7}或{4,7}．
