第二章 轴对称专项训练 等腰三角形问题中的分类讨论思想（含答案）

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专项训练 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一 作法辨析
1.若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A. 40° B. 100° C. 40°或70? D. 40°或100°
2.如果一个等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，那么这个三角形三个内角各是多少度？
类型二 确定点的位置
3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A. 8或10 B. 8 C. 10 D. 6或12
4.等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为_______________。
5.若x，y满足｜x－4｜＋（y－8）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_____________。
类型三 当高的位置不确定时，分类讨论
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，求这个三角形的各个内角的度数.
类型四 由腰的垂直平分线引起的分类讨论
7.在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数。
类型五 由腰上的中线引起的分类讨论
8.等腰△ABC的底边BC的长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长。
类型六 点的位置不确定引起的分类讨论
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△APB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个
参考答案
D
2.解:（1）当较小角为底角时，设较小角为x，则x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，则4x＝120°
故三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°。
（2）当较大角为底角时，设较小角为x，则x＋4x＋4x＝180°，解得x＝20°，则4x＝80°
故三角形三个内角的度数分别为20°，80°，80°。
综上可知，三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°或20°80°，80°。
3. C 4. 23或25 5. 20
6.解:①此等腰三角形为钝角三角形时，因为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，
所以此三角形的顶角＝90°＋35°＝125°，所以底角＝（180°－125°）÷2＝27.5°。
所以等腰三角形的各角的度数分别为125°，27.5°，27.5°。
②此等腰三角形为锐角三角形时，因为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，
所以此三角形的顶角＝90°－35°＝55?，所以底角＝（180°－55°）÷2＝62.5°。
所以等腰三角形的各角的度数分别为55°，62.5°，62.5°。
7.解:如图1，当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
因为∠ADE＝40°，DE⊥AB，所以∠A＝90°－40°＝50°。
因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－∠A）＝65°。
如图2，当△ABC为钝角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D.
因为∠ADE＝40°，DE⊥AB，所以∠DAB＝50°。
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C。
因为∠B＋∠C＝∠DAB，所以∠B＝25°。
综上可知∠B的度数为65°或25°。
8.解:因为BD为AC边上的中线，所以AD＝CD。
（1）当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3cm时，AB－BC＝3 cm.
因为BC＝5cm，所以AB＝5＋3＝8（cm）。
（2）当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3cm时，BC－AB＝3 cm.
因为BC＝5cm，所以AB＝5-3＝2（cm）。
但是当AB＝2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm，
而2＋2＜5，不合题意，舍去，故腰长为8cm。
B 【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC于点P1，交直线BC于点P2（此时PA＝PB）；②以点A为圆心，AB为半径画圆，交AC有两点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB＝AP）；
③以点B为圆心，BA为半径画圆，交BC有两点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）.
故符合条件的点有6个。
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