第二章 轴对称专项训练 利用轴对称性解决最短路径问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
专项训练 利用轴对称性解决最短路径问题
类型一 “两点一线”型
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是（ ）
A. BC B. CE C. AD D. AC
2.如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线⊥AB，且△ABC与△A′B′C′关于直线对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 C. 1
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线。若点P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC＋PQ的最小值.
4.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道看成一条直线，如图2，问题就转化为，要在直线上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线的对称点B′.②连接AB′交直线于点P，则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下面的问题:
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小。（在图中作出点P）
类型二 “一点两线”型
5.如图，已知点A是锐角∠MON内一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小。写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.（要求画出草图，保留作图痕迹）
6.如图，在长方形ABCD的BC边上有线段PQ，当PQ在BC边上的什么位置时，四边形APQD的周长最小？请画出图形并说明理由。
类型三 “两点两线”型
7.城北中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿橘子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
参考答案
B 【解析】连接PC，由等腰三角形的对称性可知，点B与点C关于直线AD对称，则有BP＝CP，因此当点P也在中线CE上时，有BP＋EP＝CP＋EP，其最小值为CE。
A 【解析】连接AD.由等边△ABC与△ABC关于直线对称，得BA′＝BA＝2，∠C′BA′＝∠CBA＝60°，所以∠CBC′＝60?，则BC′平分∠A′BC.又因为BC＝BA′，由角的对称性可得A′D＝CD（或由△BCD≌△BA′D得到）所以AD＋CD＝AD＋A′D，当D与B重合时，有最小值，为线段AA′的长度4.
3.解:如图，过点C作AB的垂线，交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q.
因为AD是∠BAC的平分线，所以PQ＝PM，即PC＋PQ＝PC＋PM＝CM。
在所有连接两点的线中，垂线段最短，可知PC＋PQ的最小值为CM。
由三角形的面积公式可知·BC·AC＝·AB·CM，所以CM＝。
4.解:如图，作点D关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，则点P即为所求。
5.解:如图，作点A关于OM的对称点A′，关于ON的对称点A″，连接A′A″，交OM，ON于点B，C，则点B，点C即为所求，连接AB，AC此时△ABC的周长最小。
6.解:如图，把点A沿AD方向平移PQ长的距离至点A′，作点D关于BC的对称点D′，连接
A′D′，交BC于点Q′，在线段BQ′上截取P′Q′＝PQ，则当线段PQ在BC边上的P′Q′位置时，四边形QD的周长最小理由如下:
连接AP′，DQ′，由作图及平移的性质可得AP′＝A′Q′，由作图知此时AP′＋DQ′的值最小，因为线段AD，P′Q′的长是定值，所以此时四边形AP′Q′D的周长最小。
7.如图所示，小明所走的路线为：CM→MN→ND，此时所走的总路程最短。
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_