人教A版高中数学选修2-1 2.4.2：抛物线的简单几何性质(共41张PPT)

(共41张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质
范围
对称性
顶点
离心率
基本元素
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
y2=2px
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.
一、温故知新
抛物线的定义及标准方程
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
由抛物线y2
=2px（p>0）
二、探索新知
如何研究抛物线y2
=2px（p>0）的几何性质?
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
即点(x,-y)
也在抛物线上,
故
抛物线y2
=
2px(p>0)关于x轴对称.
则
(-y)2
=
2px
若点(x,y)在抛物线上,
即满足y2
=
2px，
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
即：抛物线y2
=
2px
(p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知，
抛物线y2
=
2px
(p>0)的离心率为e=1.
下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。
三.归纳：抛物线的几何性质
y2
=
2px
（p>0）
y2
=
-2px
（p>0）
x2
=
2py
（p>0）
x2
=
-2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y
≤
0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
图
形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有
对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、
一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
补充（1）通径：
通过焦点且垂直对称轴的直线，
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
|PF|=x0+p/2
F
P
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
（2）焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
（标准方程中2p的几何意义）
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。
四、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P,
2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变
成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的
设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
的理论依据。
解:
三、典例精析
例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在
l
时，拱顶离水面2米，水面宽4米.
水下降1米后，水面宽多少？
o
A
思考题
2
B
A（2,－2）
x2=－2y
B（1，y）
y=－0.5
B到水面的距离为1.5米
不能安全通过
y=－3代入得
例题2
解法1
抛物线的焦点
F(1
,
0),
解法2
抛物线的焦点
F(1
,
0),
解法3
:抛物线的焦点
F(1
,
0),
|AB
|=
|AF|+
|BF
|
=
|AA1
|+
|BB1
|
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
y
O
A
B
D
F
L
§2.4.2
抛物线的简单几何性质（2）
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）
与双曲线的情况一样
x
y
O
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线
y
=
x
+2与
抛物线
y2
=4x
的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。
x
y
O
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线
y
=
x
+1与
抛物线
y2
=4x
的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。
例：判断直线
y
=
6与抛物线
y2
=4x
的位置关系
计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标
二、判断方法探讨
x
y
O
例：判断直线
y
=
x
-1与
抛物线
y2
=4x
的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
二、判断方法探讨
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计
算
判
别
式
判断直线是否与抛物线的对称轴平行
不平行
直线与抛物线相交(一个交点)
平行
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）
计
算
判
别
式
数形结合
设直线l
：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
【点评】　直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离．这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点．
例1。已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解
②点差法
练习
抛物线y2=4x的焦点为F,
点M在抛物线上运动,
A(2,2),
试求
|MA|+|MF|的最小值.
M
F
A
A1
M1
解
|MA|+|MF|
=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3
即
|MA|+|MF|的最小值为3.
1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计
算
判
别
式
【课堂小结】