华师大版数学九年级下册第27章 圆--“隐圆”知识点复习讲解学案
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级下册第27章 圆--“隐圆”知识点复习讲解学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 231.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-27 10:04:04 | ||
图片预览
文档简介
圆专题--隐圆
知识点储备：
构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。
1、点圆距离。
点P是圆O外一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上
的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。
证明：在△POB’利用到三边关系：即PO+OB’＞PB’，OB’=OB
PO+OB=PB＞PB’.在△POA’利用到三边关系:即
PA’+OA’＞
OA+PA,OA=OA’,PA’＞PA.
点P是圆O内一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上
的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。
证明：同上;
2、直径最长。
在圆中所有的弦中，直径最长。AB为直径，最长的弦。
3、点弦距离。
点P是弧AB上一动点，过圆心作弦AB的垂线交于点E,交圆O于点C,点D,若点P在劣弧AB上，当点P与点C重合，则点P到AB的最大距离为CE,若点P在优弧AB上，当点P与点D重合,则点P到AB的最大距离为DE,（此时点C为劣弧AB的中点，点D为优弧AB的中点）
证明：可以过点P作AB的平行线L，L与AB的距离就是点P到AB
的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，L与AB的距离最大，此时点P与点C重合，或点P与点D重合。
由上述结论可知：点P在圆上运动，线段AB长度固定，
当△PAB,为等腰三角形时，△PAB的面积取最大（也要分在优
弧和劣弧两种情况。）
证明：因为
△PAB底AB不变，此时AB边上的高最大，得面积也是最大的。
拓展：此时得到的△PAB的周长也是最大的。（也要分在优
弧和劣弧两种情况。）
证明：1、当点P在劣弧AB上时，如图所示：AB为定值，求△PAB的周长最大，即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB,
连接CB并延长，交圆O于点D，连接AD，过点D作AC的
垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形，
∵PC=PB
∵∠APB为定角
∴∠C＝∠PBC
∴∠ADE为定角即sin∠ADE为定值
∵∠DAP＝∠PBC(内对角相等)
∴当AD为直径时，AP+BP值最大。
∴∠C＝∠DAP
即△PAB的周长最大
∴DA=DC
∵AD为直径
∴AC=2AE
∴∠ABD＝90°
∵AE=AD·sin∠ADE
即∠ABC＝90°
∴AC=2AD·sin∠ADE
∴∠BAP+∠C=90°∠APB+∠PBC=90°
∵AP+BP=AC
∴∠BAP=∠APB
∴AP+BP=2AD·sin∠ADE
∴AP=BP
即点P为劣弧AB的
证明：2、当点P在优弧AB上时，如图所示：证明过程同上。
4、点直线距离。
点P是圆O上一点，过点O作直线L的垂线交直线L于点D，交圆O于点A,点B,则点P到直线L的最小距离为BD,最大距离为AD.
证明：可以过点P作直线L的平行线L’，L与L’的距离就是点P到L的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，当点P与点A重合，L与L’的距离最大，当点P与点B重合。L与L’的距离最小。
模型一：定点到动点定长
点A为定点，点B为动点，AB为定长，
则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B’D的小值是_______
解题思路：抓住谁是定点，谁是动点，是否存在定长。如图所示:点E是定点，点B’是动点，由折叠的性质可知，
EB’为定值。所以点B’的轨迹为以点E为圆心，
EB’为半径的圆上运动。当点D、B’、E三点共线的时候B’D的值最小。（参照知识点储备1解题）
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____
解题思路：同上题，不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心，
PF为半径的圆上运动，求点P到AB的距离最小，可过点F作AB的垂线于点M，交圆
F于点P,此时，最小值为PM。根据△AMP∽△ACB可以先求出PM的值，
再根据PM=FM-FP，可算出最小值。
证明：参照知识点储备4，点直线距离。
模型二：定角对定长
1、90°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=90°，由直径所对的角是直角，我们可以推出动点C的轨迹为：以AB为直径的圆上的任意一点。
2、30°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=30°，由30°的圆周角所对的圆心角∠AOB=60°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
3、45°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=45°，由45°的圆周角所对的圆心角∠AOB=90°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
4、60°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=60°，由60°的圆周角所对的圆心角∠AOB=120°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
5、120°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=120°，可以先作出∠C’=60°，得∠C’所对的圆心角∠AOB=120°，可得圆心O的位置和半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在劣弧AB上运动。
6、前面5种，都是定角的顶点在动，定长线段位置不变。还有一种就是定角的顶点不动，定长线段位置在变化。
已知∠ACB=30°且点C固定，AB为定线段，但位置在变化，这种情况下说明△ABC的外接圆在变化，也就圆心不确定，但是，可以确定△ABC的外接圆的半径还是不变的。我们可以得到以下结论：过点O作AB的垂线，交AB于点E,此时OE=AB,OC=AB,当点C、O、B三点共线时，可得CE取最大值为AB+AB。也可以理解为点C到AB的最大值为:AB+AB
题型识别：
有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。
总结：
定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。
确定圆心---圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。
计算半径---根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为
解题思路：由∠PAB=∠PBC和∠ABC=90°，可得∠P=90°
AB=6，为定长且位置不变，定角∠P的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：以AB为直径的圆上，圆心为AB的中点。
取AB得中点O，连接OC，交圆O为点P，此时CP取最小值为OC-OP=2.
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
如图，在边长为6的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为_____
解题思路：由等边三角形和AE=CD，可证△ABE≌△CAD,
可得∠ABE=∠DAC，∠ABE+∠BAD=60，即
∠APD=120°
AB=6，为定长且位置不变，定角∠APD的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：劣弧AB上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接CO交圆于点P，此时CP的最小值为OC-OP=
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
（江苏南京中考）在△ABC中，AB=4,∠C=60°，∠A＞∠B,则BC的长的取值范围是
解题思路：由定角对定长可得点C的运动轨迹，如图所示，当∠A=∠B时，BC取最小为4，当BC为直径时，可取最大值为。所以：
如图所示，边长为2的等边△ABC的，点B在X轴的正半轴运动，∠BOD＝30°，
点A在射线OD上移动，则顶点C到原点的最大距离为
解题思路：此题可以参照模型二中的第6种，定角的顶点不动，定长线段位置在变化。由此可得
△OAB的外接圆在变化，但是半径不变，取
任意一个位置作出△OAB的外接圆，如图所
示，此时可取AB的中点F,无论在什么时刻，
OE、EF、CF的长度是不变的，当点O、E、F、
C四点共线时，OC值取最大，最大值为：
OE+EF+CF=2++=2+2
变:1：如图，点A在射线OE运动，∠EOB=60°，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB=,AD=1，则OD的最大值为
解题思路：此题同题的解题思路，但是要注意一点，虽然知道OF、FH、DH长度不变，但是点O、F、H、D四点不会共线，因为，∠FHD=120°始终保持不变，所以OD的最大值并不是OF+FH+DH的值，可以连接DF，通过计算发现DF的值也是不变的，点O、F、D三点可以共线，所以OD的最大值为：DF+OF=+2
变式2：如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的一个动点，若AB=2,则△AOB面积的最大值为
解题思路：此题要考虑讨论两种情况，当点A在第二象限定角135°，当点A在第四象限定角45°，可参照知识储备3，点弦距离。（注意：不同的是此题定角的顶点不动，弦在动，而知识储备3说的是弦不动，定角的顶点在动，但思考的结果是一样的。）
已知正方形ABCD的边长为4，点M,N分别从点B,C同时出发，以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值？
解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，△APB周长取最大值。
AC为边长2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°,点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、AC向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值？
解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，△APB周长取最大值。
如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF，且满足∠EAF=45°
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）若正方形的边长为1，则△AEF的面积最小值为
解题思路：第一问可以通过旋转△ABE，证△AEF≌△AB’F,然后通过线段的和差关系可以证明BE+DF=EF。
第二问由第一问的全等，可以得出△AEF,EF边上高
线AH=1，求△AEF的最小值就是求EF的最小值。虽然
此题，定角∠EAF=45°,但是∠EAF所对的线段长EF，
位置和大小都在变化，所以此△EAF的外接圆的圆心
和半径都在变化，先作出任意位置△EAF的外接圆，
再取EF的中点G，连接AO、OG、GC,可得AO=EF，OG=EF，GC=EF，由此可得：
AO+OG+GC=EF+EF+EF=EF≥AC=，所以EF≥2-2
△EAF面积最小值为：
模型三：四点共圆
判定1
四点围成的四边形，对角互补，外角等于内对角；
若∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180°
或∠DCE=∠A,则点A、B、C、D四点共圆。
判定2
连接四点围成的四边形的对角线，被交点分成的两条线段长度的积相等；
若EC·AE=ED·BE,则点A、B、C、D四点共圆。
判定3
运用圆幂定理中的割线定理；
若EA·ED=EB·EC,则点A、B、C、D四点共圆。
判定4
四点连成共底边的两三角形，两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等；
若∠A＝∠D,则点A、B、C、D四点共圆。
知识点储备：
构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。
1、点圆距离。
点P是圆O外一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上
的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。
证明：在△POB’利用到三边关系：即PO+OB’＞PB’，OB’=OB
PO+OB=PB＞PB’.在△POA’利用到三边关系:即
PA’+OA’＞
OA+PA,OA=OA’,PA’＞PA.
点P是圆O内一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上
的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。
证明：同上;
2、直径最长。
在圆中所有的弦中，直径最长。AB为直径，最长的弦。
3、点弦距离。
点P是弧AB上一动点，过圆心作弦AB的垂线交于点E,交圆O于点C,点D,若点P在劣弧AB上，当点P与点C重合，则点P到AB的最大距离为CE,若点P在优弧AB上，当点P与点D重合,则点P到AB的最大距离为DE,（此时点C为劣弧AB的中点，点D为优弧AB的中点）
证明：可以过点P作AB的平行线L，L与AB的距离就是点P到AB
的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，L与AB的距离最大，此时点P与点C重合，或点P与点D重合。
由上述结论可知：点P在圆上运动，线段AB长度固定，
当△PAB,为等腰三角形时，△PAB的面积取最大（也要分在优
弧和劣弧两种情况。）
证明：因为
△PAB底AB不变，此时AB边上的高最大，得面积也是最大的。
拓展：此时得到的△PAB的周长也是最大的。（也要分在优
弧和劣弧两种情况。）
证明：1、当点P在劣弧AB上时，如图所示：AB为定值，求△PAB的周长最大，即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB,
连接CB并延长，交圆O于点D，连接AD，过点D作AC的
垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形，
∵PC=PB
∵∠APB为定角
∴∠C＝∠PBC
∴∠ADE为定角即sin∠ADE为定值
∵∠DAP＝∠PBC(内对角相等)
∴当AD为直径时，AP+BP值最大。
∴∠C＝∠DAP
即△PAB的周长最大
∴DA=DC
∵AD为直径
∴AC=2AE
∴∠ABD＝90°
∵AE=AD·sin∠ADE
即∠ABC＝90°
∴AC=2AD·sin∠ADE
∴∠BAP+∠C=90°∠APB+∠PBC=90°
∵AP+BP=AC
∴∠BAP=∠APB
∴AP+BP=2AD·sin∠ADE
∴AP=BP
即点P为劣弧AB的
证明：2、当点P在优弧AB上时，如图所示：证明过程同上。
4、点直线距离。
点P是圆O上一点，过点O作直线L的垂线交直线L于点D，交圆O于点A,点B,则点P到直线L的最小距离为BD,最大距离为AD.
证明：可以过点P作直线L的平行线L’，L与L’的距离就是点P到L的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，当点P与点A重合，L与L’的距离最大，当点P与点B重合。L与L’的距离最小。
模型一：定点到动点定长
点A为定点，点B为动点，AB为定长，
则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B’D的小值是_______
解题思路：抓住谁是定点，谁是动点，是否存在定长。如图所示:点E是定点，点B’是动点，由折叠的性质可知，
EB’为定值。所以点B’的轨迹为以点E为圆心，
EB’为半径的圆上运动。当点D、B’、E三点共线的时候B’D的值最小。（参照知识点储备1解题）
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____
解题思路：同上题，不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心，
PF为半径的圆上运动，求点P到AB的距离最小，可过点F作AB的垂线于点M，交圆
F于点P,此时，最小值为PM。根据△AMP∽△ACB可以先求出PM的值，
再根据PM=FM-FP，可算出最小值。
证明：参照知识点储备4，点直线距离。
模型二：定角对定长
1、90°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=90°，由直径所对的角是直角，我们可以推出动点C的轨迹为：以AB为直径的圆上的任意一点。
2、30°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=30°，由30°的圆周角所对的圆心角∠AOB=60°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
3、45°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=45°，由45°的圆周角所对的圆心角∠AOB=90°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
4、60°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=60°，由60°的圆周角所对的圆心角∠AOB=120°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。
5、120°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）
已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且∠ACB=120°，可以先作出∠C’=60°，得∠C’所对的圆心角∠AOB=120°，可得圆心O的位置和半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在劣弧AB上运动。
6、前面5种，都是定角的顶点在动，定长线段位置不变。还有一种就是定角的顶点不动，定长线段位置在变化。
已知∠ACB=30°且点C固定，AB为定线段，但位置在变化，这种情况下说明△ABC的外接圆在变化，也就圆心不确定，但是，可以确定△ABC的外接圆的半径还是不变的。我们可以得到以下结论：过点O作AB的垂线，交AB于点E,此时OE=AB,OC=AB,当点C、O、B三点共线时，可得CE取最大值为AB+AB。也可以理解为点C到AB的最大值为:AB+AB
题型识别：
有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。
总结：
定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。
确定圆心---圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。
计算半径---根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为
解题思路：由∠PAB=∠PBC和∠ABC=90°，可得∠P=90°
AB=6，为定长且位置不变，定角∠P的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：以AB为直径的圆上，圆心为AB的中点。
取AB得中点O，连接OC，交圆O为点P，此时CP取最小值为OC-OP=2.
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
如图，在边长为6的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为_____
解题思路：由等边三角形和AE=CD，可证△ABE≌△CAD,
可得∠ABE=∠DAC，∠ABE+∠BAD=60，即
∠APD=120°
AB=6，为定长且位置不变，定角∠APD的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：劣弧AB上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接CO交圆于点P，此时CP的最小值为OC-OP=
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
（江苏南京中考）在△ABC中，AB=4,∠C=60°，∠A＞∠B,则BC的长的取值范围是
解题思路：由定角对定长可得点C的运动轨迹，如图所示，当∠A=∠B时，BC取最小为4，当BC为直径时，可取最大值为。所以：
如图所示，边长为2的等边△ABC的，点B在X轴的正半轴运动，∠BOD＝30°，
点A在射线OD上移动，则顶点C到原点的最大距离为
解题思路：此题可以参照模型二中的第6种，定角的顶点不动，定长线段位置在变化。由此可得
△OAB的外接圆在变化，但是半径不变，取
任意一个位置作出△OAB的外接圆，如图所
示，此时可取AB的中点F,无论在什么时刻，
OE、EF、CF的长度是不变的，当点O、E、F、
C四点共线时，OC值取最大，最大值为：
OE+EF+CF=2++=2+2
变:1：如图，点A在射线OE运动，∠EOB=60°，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB=,AD=1，则OD的最大值为
解题思路：此题同题的解题思路，但是要注意一点，虽然知道OF、FH、DH长度不变，但是点O、F、H、D四点不会共线，因为，∠FHD=120°始终保持不变，所以OD的最大值并不是OF+FH+DH的值，可以连接DF，通过计算发现DF的值也是不变的，点O、F、D三点可以共线，所以OD的最大值为：DF+OF=+2
变式2：如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的一个动点，若AB=2,则△AOB面积的最大值为
解题思路：此题要考虑讨论两种情况，当点A在第二象限定角135°，当点A在第四象限定角45°，可参照知识储备3，点弦距离。（注意：不同的是此题定角的顶点不动，弦在动，而知识储备3说的是弦不动，定角的顶点在动，但思考的结果是一样的。）
已知正方形ABCD的边长为4，点M,N分别从点B,C同时出发，以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值？
解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，△APB周长取最大值。
AC为边长2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°,点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、AC向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值？
解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，△APB周长取最大值。
如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF，且满足∠EAF=45°
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）若正方形的边长为1，则△AEF的面积最小值为
解题思路：第一问可以通过旋转△ABE，证△AEF≌△AB’F,然后通过线段的和差关系可以证明BE+DF=EF。
第二问由第一问的全等，可以得出△AEF,EF边上高
线AH=1，求△AEF的最小值就是求EF的最小值。虽然
此题，定角∠EAF=45°,但是∠EAF所对的线段长EF，
位置和大小都在变化，所以此△EAF的外接圆的圆心
和半径都在变化，先作出任意位置△EAF的外接圆，
再取EF的中点G，连接AO、OG、GC,可得AO=EF，OG=EF，GC=EF，由此可得：
AO+OG+GC=EF+EF+EF=EF≥AC=，所以EF≥2-2
△EAF面积最小值为：
模型三：四点共圆
判定1
四点围成的四边形，对角互补，外角等于内对角；
若∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180°
或∠DCE=∠A,则点A、B、C、D四点共圆。
判定2
连接四点围成的四边形的对角线，被交点分成的两条线段长度的积相等；
若EC·AE=ED·BE,则点A、B、C、D四点共圆。
判定3
运用圆幂定理中的割线定理；
若EA·ED=EB·EC,则点A、B、C、D四点共圆。
判定4
四点连成共底边的两三角形，两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等；
若∠A＝∠D,则点A、B、C、D四点共圆。