苏科版八年级数学下册 第10章 分式 分式方程的增根与无解经典分析学案

分式方程的增根与无解
知识点回顾:
在分式方程中，我们将分式方程两边分别乘以最简公分母，得到一个整式方程，如果有满足此整式方程的根，但在分式方程中却使分母为0，那么这样的根叫原分式方程的增根。
两者对比：
它们是两个概念，不能画等号
增根只是无解的一种类型而已，产生增根不一定说明此方程无解
方程无解不一定是因为有增根而无解的。它包含两种情形：
原方程化去分母后的整式方程无解
原方程化去分母后的整式方程有解，但此解却使原方程的分母为0，即增根。
例题说明：
例1
解方程．
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
检验：当
最简公分母
所以原方程无解。
说明：虽然整式方程有解，但是此解使得分式方程的最简公分母为0，即增根，所以原方程无解。
例2
解方程．
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
此整式方程无解，
所以原方程无解。
说明：虽然没有增根的出现，但是分式方程转化为整式方程是无解的，所以原方程无解。
例3：解方程：
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
检验：当
最简公分母
当
最简公分母
所以是原方程的解。
说明：虽然有增根的出现，但是原方程是有解的。因为整式方程的解不唯一。
（即分式产生增根并不代表分式无解）
例4:解方程:，有增根，则m的值为
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
因为原方程有增根出现，即要使最简公分母
说明：当时，，将代入原方程，此时有增根产生。
当时，，将代入原方程，此时无增根，与题意不符，舍去。
综上：
例5当a为何值时，关于x的方程会产生增根？
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
①
因为原方程会产生增根，即要使最简公分母
，且
把，分别带人到①中，得
变式：当a为何值时，关于x的方程无解？
解：分式方程两边同时乘最简公分母：
得到整式方程为：
分式方程无解分为两种：
所以：对于①，可得
对于②，可得
综上：
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