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第三章
不等式单元测试卷一（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
【答案】：C
【解析】：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
2.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
3.若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】：基本法：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
速解法：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
答案：C
4．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是
A．
B．
1
C．
10
D．
12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
5．设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【答案】D
【解析】由线性约束条件，画出可行域如下图
的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由可行域可知，当取点B时，与原点连线斜率最大，B（1，2），所以的最大值为，所以选D。
6．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.
故选B。
7．若满足约束条件则的最大值等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】如图，作出可行域，由图可知当动直线经过点时，取得最大值，即取得最大值.由解得所以当时，，故选D.
8．已知，满足约束条件，若，若的最大值为4，则实数的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】B
【解析】由不等式组，画出可行域如下图所示：
线性目标函数，化为
画出目标函数可知，当在A点时取得z取得最大值
因为A（2，-2+m）
代入目标函数可得
解得m=3
所以选B。
9．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用待定系数法，令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），求出满足条件的x，y，利用不等式的基本性质，可得4a﹣2b的取值范围.
【详解】
令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b）.
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选B．
【点睛】
本题考查了利用不等式的性质求取值范围，其中令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键，属于基础题．
10．设满足约束条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，可作出约束条件的可行域，如图所示，在可行域内，当时，取得最小值；不妨设的最大值为，则有或，即或，结合图形，当直线过点时，取得最大值为，所以的取值范围为.故正确答案为A.
11．设，若恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由于，则=
当2m=1-2m即m=时取等号；
所以恒成立，转化为的最小值大于等于，即
故选D
12．设，若是的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．
C．1
D．4
【答案】D
【解析】
∵是的等比中项，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1．
a＞0，b＞0．
∴==2．当且仅当a=b=时取等号．
故选D．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【答案】．
【解析】根据条件：,,
又,.
又,,三点共线,.
,,.
的最小值为,当且仅当时“”成立.
故答案为：.
14．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵，且
∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．
∵不等式恒成立?（）min≥a．
∴a∈（﹣∞，16]，
即实数的最大值为16
故答案为16．
15．已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数____
【答案】
【解析】由已知作可行域如图所示，
化为，
平移直线
由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，
由，解得,
故答案为.
16．已知正实数，满足，则的最小值是
．
【答案】．
【解析】∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．[来源:Z&xx&k.Com]
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+3x＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得
x＞3或x＜﹣1．
故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．
（2）
由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0[来源:Zxxk.Com]
此不等式化为不等式组：或
．即
a≤x≤，或x≤﹣，
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题意可得﹣＝﹣1，故a＝2
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．
18．已知
，
，
.
（1）求
的最小值；
（2）求
的最小值.
【答案】(1)
64
,(2)
x+y的最小值为18.
【解析】
试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；
（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
试题解析：(1)由
，得
,又
，
，故,
故，当且仅当即时等号成立，∴
(2)由2,得,则
.当且仅当即时等号成立.∴
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
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精品试卷·第
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不等式单元测试卷一（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
2.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
3.若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是
A．
B．
1
C．
10
D．
12
5．设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
6．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若满足约束条件则的最大值等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知，满足约束条件，若，若的最大值为4，则实数的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
9．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设满足约束条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．设，若恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12．设，若是的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．
C．1
D．4
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
14．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
15．已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数____
16．已知正实数，满足，则的最小值是
．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．[来源:Z&xx&k.Com]
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
18．已知
，
，
.
（1）求
的最小值；
（2）求
的最小值.
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