中小学教育资源及组卷应用平台
第三章
不等式单元测试卷（基础版）
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则（
）
A．ln(a?b)>0
B．3a<3b
C．a3?b3>0
D．│a│>│b│
2．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥?1，则3x+y的最大值为（
）
A．?7
B．1
C．5
D．7
3．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是(
)
A．1
B．2
C．
D．
5．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
（2020·山西高三）函数的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2020·河北正定中学高三）现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为，且方差达到最小，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·内蒙古高三）记等比数列的前项和为，已知，，设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
10．（2020·安徽高三）已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
11．（2020·湖北黄石二中高三）设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则（且）的最小值为（
）
A．16
B．24
C．32
D．64
12．（2020·肥城市第一高级中学高三）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（
）
A．2
B．1
C．
D．
填空题
【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京
白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
14．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
15．已知，，且，则最小值为__________．
16．（2020·湖南省长郡中学高三测试（理））已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．定义在R上的函数f（x）=ax2+x．
（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．
18．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，
6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和
10个单位的维生素．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋
白质和54个单位的维生素．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的
营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三章
不等式单元测试卷（基础版）
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则（
）
A．ln(a?b)>0
B．3a<3b
C．a3?b3>0
D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
2．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥?1，则3x+y的最大值为（
）
A．?7
B．1
C．5
D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,当直线经过点时,取最大值5.故选C．
【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识?基本技能的考查.
3．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
,即，故.
又，所以.
故，所以选A.
【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.
4．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是(
)
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式表示的平面区域如图：
直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积，故选C。
5．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.又，
∴，
∴.
又∵在锐角中,
,∴，当且仅当时取等号，
∴，故选A.
6．设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图，
当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；
∴2a+b＝1，（2a+b）（）＝33+23+2．
故选D．
7.
（2020·山西高三）函数的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】
【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.
【详解】.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为6.故选：D
【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值，属于基础题.
8．（2020·河北正定中学高三）现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为，且方差达到最小，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】由平均为115得到，写出方差的表达式，求出使方差最小时满足的关系，从而求得的值.
【详解】数据的平均数为，，要使方差最小，则，
当且仅当，即时取等号，此时方差最小，.
【点睛】本题考查对茎叶图、平均数和方差的概念，考查逻数据处理能力，求解时注意基本不等式的运用.
9．（2020·内蒙古高三）记等比数列的前项和为，已知，，设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【解析】
【分析】由，求得公比，得到，再由成等差数列，结合基本不等式，即可求解．
【详解】由题意，因为，可得，可得，即，所以等比数列的公比，所以.又由成等差数列，得，令，则，所以，
由，得，当且仅当时等号成立.所以的最小值为8.故选：D．
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力．
10．（2020·安徽高三）已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
【答案】D
【解析】
【分析】画出可行域，根据目标函数的最大值求得的关系式，再利用基本不等式求得的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D
【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11．（2020·湖北黄石二中高三）设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则（且）的最小值为（
）
A．16
B．24
C．32
D．64
【答案】C
【解析】
【分析】取，得出是等比数列，求出，转化为关于的函数，利用求最值的方法即可求解.
【详解】当时，，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴，∴，
∴当且仅当，即时，等号成立.
【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题.
12．（2020·肥城市第一高级中学高三）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（
）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】首先可确定曲线表示圆心为，半径为的圆；令，则；的最大值为半径与圆心到点的距离之和，利用两点间距离公式求得，代入中利用最大值为可求得，将所求的式子变为，利用基本不等式求得结果.
【详解】曲线可整理为：，则曲线表示圆心为，半径为的圆
，设，则表示圆上的点到的距离，则，，整理得：，
又（当且仅当，即，时取等号）
，即的最小值为
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.
填空题
【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、
西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130
；②15.
【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
14．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
15．已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【解析】，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.即的最小值为.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．（2020·湖南省长郡中学高三测试（理））已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
【答案】4
；
【解析】由已知得到可行域如图：
可求出三个交点坐标A（3，2），B（-1,2）,C,
目标函数的最大值为11，
几何意义是直线截距的最大值为11,
由图得知,当过点A截距取得最大值,
故，解得=4。
三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．定义在R上的函数f（x）=ax2+x．
（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．
【答案】（Ⅰ）详见解析（II）-≤a≤-（Ⅲ）m=n=0或者m=-4，n=0
解：（Ⅰ）证明：∵[f（x1）+f（x2）]-f（）
=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-
=，
∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）]-f（）≥0，
∴[f（x1）+f（x2）]≥f（）．
（Ⅱ）当x=0时，|f（x）|≤1显然成立，此时a∈R；
当x∈（0，2]时，|f（x）|≤1?-1≤ax2+x≤1?≤a≤
?-（）2-≤a≤（）2-恒成立，
∵x∈（0，2]，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，[来源:学科网ZXXK]
∴-≤a≤-．
（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，
∵P（m，n2）在函数f（x）的图象上，∴m2+m=n2，
变形得（m+2）2-4n2=4，
∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈Z，n∈Z，
∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4为偶数，
∴m+2-2n与m+2+2n同为偶数，
∴或
解得：或
故答案为：m=n=0或者m=-4，n=0．
【点睛】
本题考查了不等式的证明、不等式恒成立转化为最值，属难题．
18．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，
6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和
10个单位的维生素．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋
白质和54个单位的维生素．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的
营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
【解析】设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件
，即，做出可行域（图略）作直线，
平移直线至，当
经过C点时，可使达到最小值．
由
即，
此时，
答:
午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
