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第一章
解三角形单元测试二（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.在中，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，，则
（
）
A.
1
B.
C.
D.
4
4.在中，
，，分别为内角，，的对边，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5.在中，
，，分别为内角，，的对边，.、分别是边和的中点，与交于点，，则面积的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
6.在中，若，则的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
7．函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
8.在中，如果边，
，
满足，则（
）
A.
一定是锐角
B.
一定是钝角
C.
一定是直角
D.
以上情况都有可能
9.在中，角，
，
所对应的边分别为，
，
，若，
，则当角取得最大值时，三角形的周长为（
）
A.
B.
C.
3
D.
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，
则角（
）
A．
B．
C．
D．
11.
已知分别为的三个内角的对边，
=2，且，则面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
12、在锐角三角形中，
分别是内角的对边，设，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高
米.
14.锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
15．在中，，，，点在线段上，若，则
___________，___________．
16.在中，
分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为__________．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．的内角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，，点在边上，
，求的长.
18.已知中，内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）设向量，，边长，求当取最大值时，求边的长．
19.在中，记内角A、B、C的对边分别为、、，已知为锐角，且.
（1）求角；
（2）若，延长线段至，使得，且的面积为，求线段的长度.
20.已知中，角A、B、C的对边分别为、、，，，.
（1）求的值；
（2）若点、分别在边、上，且，，求的长.
21．已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
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第一章
解三角形单元测试二（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.在中，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在中，，，，由正弦定理可得.
由余弦定理，可得.所以或因为，所以，所以.故选A.
2.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】作，垂足点在的延长线上，为等腰直角三角形，设，则，，，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，，则
（
）
A.
1
B.
C.
D.
4
【答案】.D
【解析】因为，
由正弦定理可得
，
所以，因为，，所以.
由余弦定理得
，因为，，可解得.故选B.
4.在中，
，，分别为内角，，的对边，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.C
【解析】利用正、余弦定理将已知等式化为，化简整理得
，所以，因为是三角形内角，所以.故选C.
5.在中，
，，分别为内角，，的对边，.、分别是边和的中点，与交于点，，则面积的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】依题意，为的重心，因为，所以，.设，则.在中，有，在中，有，两式相加，则.
又，消去，得，因为，所以所以，所以.
当且仅当时，的面积取得最大值，最大值为.故选A.
6.在中，若，则的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】设的内角，，所对应的三条边分别为，，，则有
，由正弦定理得：
，所以，则，当且仅当时，等号成立，故选B．
7．函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
8.在中，如果边，
，
满足，则（
）
A.
一定是锐角
B.
一定是钝角
C.
一定是直角
D.
以上情况都有可能
【答案】A
【解析】已知不等式两边平方得，利用余弦定理
aaa
为三角形的内角，
，即一定是锐角．
故选A
9.在中，角，
，
所对应的边分别为，
，
，若，
，则当角取得最大值时，三角形的周长为（
）
A.
B.
C.
3
D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，由正弦定理得：
∵
∴A为钝角．∴，aaa
由，
可得，
tanB=﹣==≤=，[来源:学科网ZXXK]
当且仅当tanC=时取等号．∴B取得最大值时，
∴．
∴a=2×=．∴a+b+c=2+．故答案为：2+．
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，
则角（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
由正弦定理可得：，
∵，∴，即，
∵，∴.故选D．
【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由，可得，再由正弦定理得到，结合，即可求得的值．
11.
已知分别为的三个内角的对边，
=2，且，则面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得:
,即,由余弦定理得:
,
,又,,当且仅当时取等号,此时为正三角形,则的面积的最大值为,故选A.
12、在锐角三角形中，
分别是内角的对边，设，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得：
，
为锐角，即，且
为锐角，
,所以，即，
，则的取值范围是，故选A.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高
米.
【答案】
【解析】在中，，即
，得，因为是直角三角形，且，所以（米）.
14.锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
【答案】
【解析】由得，所以，因为是锐角三角形，所以，得，所以是最小边，则是最小角，所以，即，即，因为，所以，所以是最大边，则是最大角，所以，则，即，即.
，整理得，所以.
15．在中，，，，点在线段上，若，则
___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.
【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
16.在中，
分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为__________．
【答案】
【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．的内角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，，点在边上，
，求的长.
【解析】（1）因为，所以由正弦定理知，，
因为，所以，于是，即，
因为，所以.
（2）由（1）结合余弦定理，得，
所以，所以.
因为在中，
，所以，所以.
18.已知中，内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）设向量，，边长，求当取最大值时，求边的长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为
.
所以当时，取最大值，此时，.
由正弦定理得，.
19.在中，记内角A、B、C的对边分别为、、，已知为锐角，且.
（1）求角；
（2）若，延长线段至，使得，且的面积为，求线段的长度.
【解析】（1）由正弦定理知：，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即.
因为，，所以，所以.
（2）设，，因为，，
所以，，
所以，
即.①
在中，由余弦定理，得，
即.②
联立①②，解得，所以.
20.已知中，角A、B、C的对边分别为、、，，，.
（1）求的值；
（2）若点、分别在边、上，且，，求的长.
【解析】（1）由，得，
即，
由正弦定理，得，因为，所以.
因为，所以.
因为，，
所以，即.
（2）由（1）知是等腰直角三角形，
，
，则，
所以.
21．已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1），
所以.
（2）因为，所以，所以.
由不等式恒成立，得，解得.
所以实数的取值范围为.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；
（2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c的不等式组，求解不等式组可得c的取值范围.
22．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
即，
∵，∴，∵，∴．
（2）∵，，的面积为，，
∴，∴由余弦定理可得：，
即，解得：，
∴的周长为.
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合，可求．
（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的周长的值．
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