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第一章
解三角形单元测试二(基础版)
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知，，是海面上的三座岛屿，测得，，从岛屿到岛屿需要分钟，按照同样的速度，从岛屿到岛屿需要（取，）（
）
A.分钟
B.分钟
C.分钟
D.分钟
【答案】B
【解析】设从从岛屿到岛屿速度为，从岛屿到岛屿需要分钟，由正弦定理，得，.故选B.
2.在中，内角为钝角，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】因为为钝角，，所以由余弦定理得，即，解得（舍去）.故选A.
3.若的三个内角，，所对的边分别是，，，若，且，则（
）
A.
10
B.
8
C.
7
D.
4
【答案】.B
【解析】，
即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，，
即，则，故选B.
4．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，因此.故选B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
6．在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，
则（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得，
∵，∴，
即，即，则，
∵，∴，∴，即，
则，故选D．
【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．
7.在中,若=,则角的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值．
8.在中,分别为内角所对的边,若,则的最大值为(
)
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】由余弦定理,知,整理,得,则有≤,即,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为,故选C．
9.已知O为△ABC的外心,,若,则x＋y的最大值为(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】如图所示,以BC边所在直线为x轴,BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(D为BC边的中点)．
由外接圆的性质可得∠BOD＝∠COD＝∠BAC．
由,不妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．
∵cos∠COD＝,∴OD＝1,DC＝＝2．
∴B(?2,0),C(2,0),O(0,1),A(m,n)．
则△ABC外接圆的方程为：x2＋(y－1)2＝9．(
)
∵,
∴(－m,1－n)＝x(?2?m,?n)＋y(2?m,?n),
∴’
∵时,否则,由图可知是不可能的.
∴可化为,代入(
)可得,
化为18(x＋y)＝9＋32xy,
利用重要不等式可得18(x＋y),
化为,
解得.
又x＋y<1,故应舍去,
∴,
故x＋y的最大值为.
【答案】D
【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.
10．已知的内角、、的对边分别是、、,且
,若,则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∴,∴,
11．【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试】已知分别是内角的对边,
,当时,
面积的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由,故（当且仅当时取等号）,故选：C．
12.【2018届湖南省长郡高三月考】锐角中,
为角所对的边,点为的重心,若,则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如图,连接CG,延长交AB于D,由于G为重心,故D为中点,
∵AG⊥BG,c=1,∴DG=
,由重心的性质得,CD=3DG,即CD=
,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cos∠ADC,BC2=BD2+CD2-2BD?CD?cos∠BDC．
∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD,∴AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2
=
,则
又因为为锐角三角形,则应该满足
将
代入可得
则
由对勾函数性质可得的取值范围为
故选B
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.的内角，，所对应的三条边分别为，，，若，，则
.
【答案】.
【解析】因为中，，，根据正弦定理，得，
，所以.
14．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
15.在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为__________．
【答案】4
16.在中，内角的对边分别为，已知，
，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
得，
，
，
则，得，[来源:学科网ZXXK]
解得，又，aaa
的范围是。
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.在中，角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且.
（1）求和的值；
（2）求面积的最大值.
【解析】（1）因为，所以.
所以，，
因为，所以.
因为，所以.因为，所以.
由正弦定理，得.
（2）由余弦定理，得，所以.
由基本不等式，得，所以.
因为，所以.
所以面积的最大值为.
18．已知的内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【解析】（1）由，得，
由正弦定理，得，
由于，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，所以.
①
又的面积为，即，即，即.②
由①②得，
则，
得.
所以的周长为.
19．已知
、、分别是的三个内角A、B、C的对边，且.
（1）求角A的值；
（2）若，AC边上的中线BD的长为，求的面积.
【解析】（1）由，变形为，
，
，
，
因为，所以，，
又因为，所以
（2）在中，，，，
利用余弦定理，，
解得，
又因为是的中点，所以，
所以.
20.的内角，，的对边分别为，，，已知，为的角平分线.
（1）求的值；
（2）若，，求的长.
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，得，
由正弦定理得.
因为为的角平分线，所以.
所以.
（2）设的边上的高为，由（1）知，，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，
即，
解得.
21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
因此，△ABC面积的取值范围是．
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.
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一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知，，是海面上的三座岛屿，测得，，从岛屿到岛屿需要分钟，按照同样的速度，从岛屿到岛屿需要（取，）（
）
A.分钟
B.分钟
C.分钟
D.分钟
2.在中，内角为钝角，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.若的三个内角，，所对的边分别是，，，若，且，则（
）
A.
10
B.
8
C.
7
D.
4
4．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，
则（
）
A．1
B．
C．
D．
7.在中,若=,则角的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
8.在中,分别为内角所对的边,若,则的最大值为(
)
A．4
B．
C．
D．2
9.已知O为△ABC的外心,,若,则x＋y的最大值为(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知的内角、、的对边分别是、、,且
,若,则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
11．【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试】已知分别是内角的对边,
,当时,
面积的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
12.【2018届湖南省长郡高三月考】锐角中,
为角所对的边,点为的重心,若,则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.的内角，，所对应的三条边分别为，，，若，，则
.
14．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
15.在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为__________．
16.在中，内角的对边分别为，已知，
，则的取值范围是__________．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.在中，角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且.
（1）求和的值；
（2）求面积的最大值.
18．已知的内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
19．已知
、、分别是的三个内角A、B、C的对边，且.
（1）求角A的值；
（2）若，AC边上的中线BD的长为，求的面积.
20.的内角，，的对边分别为，，，已知，为的角平分线.
（1）求的值；
（2）若，，求的长.
21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
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