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第一章
解三角形单元测试一(巅峰版）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，
，
，若点是所在平面内一点，且
，则
的最大值等于（
）
A．13
B．15
C．19
D．21
4．设四边形为平行四边形，，．若点满足
，，则（
）
A．20
B．15
C．9
D．6
5．已知中，，，，那么（
）
A.
B.
C.或
D.或
6.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
7.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
8.
若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
9．（2019年高考全国Ⅰ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?，则=（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
10．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12.在△ABC中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，单空每小题5分，共20分）
13．已知，则
14．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
15.钝角△ABC中，，，分别是内角A，B，C的对边，，，则的取值
范围是
．
16.在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知,且,则在方向上的投影是
．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分10分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求角A的值；
（2）求函数（）的值域．
18．（本小题满分12分）
已知向量，，且函数
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域。
19（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
20．（12分）
设分别是的内角的对边.已知.
(1)若，求;
(2)若求的面积
21．
设的内角的对边分别为，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若向量与共线，求的值.
22.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
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第一章
解三角形单元测试一(巅峰版）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，，，设，
所以
，，，
所以
，
，
当时，所求的最小值为，故选B．
3．已知，
，
，若点是所在平面内一点，且
，则
的最大值等于（
）
A．13
B．15
C．19
D．21
【答案】A
【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为
轴建立如图所示的
平面直角坐标系，
所以点，，，
所以
=（当且仅当，即时取等号），
所以的最大值为13．故选A．
4．设四边形为平行四边形，，．若点满足
，，则（
）
A．20
B．15
C．9
D．6
【答案】C
【解析】，所以
，选C．
5．已知中，，，，那么（
）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，所以或，因为，根据三角形中大边对大角，所以，因此.
6.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由条件，得，即，从而可知，根据余弦定理推论得，解得，所以，因此.故选B.
7.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】D
【解析】根据余弦定理，得，又，所以，整理得，又，所以或.故选D.
8.
若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】根所正弦定理可知，的最大内角为，不妨设，，，根据余弦定理得，而，所以，故为钝角三角形.
9．（2019年高考全国Ⅰ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?，则=（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得，
由余弦定理推论可得
，故选A．
10．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，
得，
即，所以，即，选A．
11．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中，
由正弦定理得
12.在△ABC中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得：所以是等腰三角形，
整理得：解之得：所以，解得．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，单空每小题5分，共20分）
13．已知，则
【答案】2．
【解析】提示：利用可得
14．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，∵，
∴，∴，
由正弦定理可得，即，
当时，.当时，则的最小值为．
故答案为：.
15.钝角△ABC中，，，分别是内角A，B，C的对边，，，则的取值
范围是
．
【答案】
【解析】是钝角，得到；A是钝角，得到
16.在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知,且,则在方向上的投影是
．
【答案】
三．解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分10分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求角A的值；
（2）求函数（）的值域．
【答案】（1）.(2).
【解析】
(Ⅰ)由正弦定理，得，则，得，
又为锐角，故；
(Ⅱ)
，
因，故，于是，因此，
即的值域为.
18．（本小题满分12分）
已知向量，，且函数
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域。
【答案】（1）（2）
【解析】：（1），
，
（2）由题意
当时，
19（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得
因为角为三角形内角
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
=
=
=
=
=
=
的最大值是1
20．（12分）
设分别是的内角的对边.已知.
(1)若，求;
(2)若求的面积
【答案】（1）
(2)
【解析】(1)
应为所以
又所以
所以
又所以
(2)由余弦定理可得
可得解得
所以
【点评】正弦定理和余弦定理的简单运用，注意两个答案时的取舍.
21．
设的内角的对边分别为，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若向量与共线，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】：
得；
（2）与共线，，由正弦定理，得①，
由余弦定理得②，
联立①②解得
22.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
【解析】
(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.
(2)由cosA＝得sinA＝，
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝，
得cosC＋sinC＝，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<.
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
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