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突破1.1.2
余弦定理课时训练
【基础巩固】
1.在中，已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
2.若内角A、B、C所对的边分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
4．在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则
的面积是（
）A．3
B．
C．
D．
5．如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，，，则的长为_______________．
6．设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____.
7.在中，内角A、B、C所对的边长分别为，且，则__________.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
【能力提升】
9．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2019·北京高考模拟（文））已知中，，三角形的面积为，且，则（
）
A．
B．3
C．
D．-
11．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·北京高考模拟（理））在中，三边长分别为
,其最大角的余弦值为_________,
的面积为_______.
13．（2019·浙江高考模拟）在ABC
中，C＝45°，AB＝6
，D
为
BC
边上的点，且AD＝5，BD＝3
，则cos
B＝_____
，AC＝_____．
14.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
15.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
16．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
17．（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
18．（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
19．（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
20．在中，内角所对的边分别为．已知，，，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值．
【高考真题】
21.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
22.（2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
23．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，
则（
）
A．
B．
C．
D．
24．（2016年天津）在中，若，=3，
，则AC=
A．1
B．2
C．3
D．4
25．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则
A．
B．
C．
D．
26．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)若，求．
27．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
28（2017新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
(1)求；
(2)若，，求的周长．
29．（2013新课标Ⅱ）在内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
30.(2019全国Ⅰ理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
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突破1.1.2
余弦定理课时训练
【基础巩固】
1.在中，已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
【答案】C
【解析】根据余弦定定理，又，所以，又，所以.
2.若内角A、B、C所对的边分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，所以，根据余弦定理得，又因为，所以.
3.
若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】根所正弦定理可知，的最大内角为，不妨设，，，根据余弦定理得，而，所以，故为钝角三角形.
4．在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则
的面积是（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
5．如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，，，则的长为_______________．
【答案】
【解析】∵
∴根据余弦定理可得，．
6．设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____.
【答案】
【解析】，
，所以．
7.在中，内角A、B、C所对的边长分别为，且，则__________.
【答案】
【解析】由余弦定理知，所以，，.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
【答案】（1）60°；
（2）；
（3）.
【解析】（Ⅰ）由.，得，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
（Ⅲ）由题意得
.
因为0＜A＜，所以.故所求的取值范围是.
【能力提升】
9．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以,即
选C.
10．（2019·北京高考模拟（文））已知中，，三角形的面积为，且，则（
）
A．
B．3
C．
D．-
【答案】B
【解析】依题意可得：，所以＝4，
由余弦定理，得：，即：，
据此可得：.结合可得3.
本题选择B选项.
11．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在，因为
由正弦定理可化简得，所以，
由余弦定理得，从而，故选C.
12．（2019·北京高考模拟（理））在中，三边长分别为
,其最大角的余弦值为_________,
的面积为_______.
【答案】
【解析】大边对大角可知，A最大，所以，cosA＝；
，的面积为S＝＝3.
13．（2019·浙江高考模拟）在ABC
中，C＝45°，AB＝6
，D
为
BC
边上的点，且AD＝5，BD＝3
，则cos
B＝_____
，AC＝_____．
【答案】
【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cosB，
∴sinB．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．
14.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由条件，得，即，从而可知，根据余弦定理推论得，解得，所以，因此.故选B.
15.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】D
【解析】根据余弦定理，得，又，所以，整理得，又，所以或.故选D.
16．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∵，
∴，∴，由正弦定理可得，即，
当时，.当时，则的最小值为．
故答案为：.
17．（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【答案】
【解析】在中，=，同理可得-，
又=(+)，平方得=，所以，
18．（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得,因为角为三角形内角
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
==
====
的最大值是1
19．（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】中，，
由正弦定理可得，
整理可得，
又A为三角形内角，，所以，由B为三角形内角，可得；
由的面积为，即，所以，又，
由余弦定理得，
所以，所以的周长为．
20．在中，内角所对的边分别为．已知，，，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，因为，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，
．故
【高考真题】
21.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由余弦定理有，因为，，，所以，所以，.
22.（2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以由余弦定理，
得，所以，故选A．
23．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意及三角形的面积公式知，
所以，所以在中，．故选C．
24．（2016年天津）在中，若，=3，
，则AC=
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
25．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得
，则．在△中，由余弦定理可得
，则．
由余弦定理，可得，故选C．
26．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】(1)在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
(2)由题设及(1)知，．在中，由余弦定理得：
．
所以．
27．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
28（2017新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【解析】（1）由题设得，即，由正弦定理得．
故．
（2）由题设及（1）得
所以，故．由题设得，即．
由余弦定理得，即，得．故的周长为．
29．（2013新课标Ⅱ）在内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得：，
所以，
即，因为0，所以，解得B=；
（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，
当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为
=，所以△面积的最大值为．
30.(2019全国Ⅰ理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
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