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突破1.1.2
余弦定理重难点突破
考纲要求
熟记并掌握余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；
能够利用余弦定理解三角形；
能利用正弦定理
余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题；
能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享
【正弦定理】?（R为外接圆的半径）.
【余弦定理】①;;
②
③在三角形△ABC中，若，则C为直角；若
，则C为钝角；若，则C为锐角。
【三角形常用结论
】
（1）
（2）在△ABC中，有.
（3)面积公式：
①，②.
【三角恒等变换公式】
（其中是三角形的三个内角）
三、题型分析
(一)
利用余弦定理解三角形
例1.
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=（
）
（A）
（B）
（C）2
（D）3
【答案】D
【解析】由余弦定理得,解得（舍去）,故选D.
例2.在中，已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
【答案】C
【解析】根据余弦定定理，又，所以，又，所以.
【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以,即
选C.
【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【变式训练2】．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中，
由正弦定理得，解得．
(二)
利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积
最值问题
例3.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由条件，得，即，从而可知，根据余弦定理推论得，解得，所以，因此.故选B.
例4.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】D
【解析】根据余弦定理，得，又，所以，整理得，又，所以或.故选D.
【变式训练1】．若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】根所正弦定理可知，的最大内角为，不妨设，，，根据余弦定理得，而，所以，故为钝角三角形.
【变式训练2】（2013陕西）设△ABC的内角A,
B,
C所对的边分别为a,
b,
c,
若,
则△ABC的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】∵，∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
【变式训练3】（2016年全国II）的内角的对边分别为，若，
，，则
．
【答案】
【解析】∵，，
所以，，所以，
由正弦定理得：解得．
(三)
正余弦定理与三角变换的综合应用
例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以，选A.
例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【答案】
【解析】在中，=，同理可得-，
又=(+)，平方得=，
所以，
故答案为(1).
(2).
【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求角的大小.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理，得，
，，，
，，
，；
（2）由正弦定理得，，
，，
，，
，.
【变式训练2】.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
四、迁移应用
1.若内角A、B、C所对的边分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，所以，根据余弦定理得，又因为，所以.
2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在，因为
由正弦定理可化简得，所以，
由余弦定理得，从而，故选C.
3．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以由余弦定理，
得，
所以，故选A．
4．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得
，则．在△中，由余弦定理可得
，则．
由余弦定理，可得，故选C．
5．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形的面积是，，，则=
A．5
B．
C．2
D．1
【答案】B
【解析】，∴，所以或．
当时，，
此时，易得与“钝角三角形”矛盾；
当时，．
6．（2014江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若
，，则的面积是
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
7.在中，内角A、B、C所对的边长分别为，且，则__________.
【答案】
【解析】由余弦定理知，所以，，.
8．（2019·浙江高考模拟）在ABC
中，C＝45°，AB＝6
，D
为
BC
边上的点，且AD＝5，BD＝3
，则cos
B＝_____
，AC＝_____．
【答案】
【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，
在△ABD中，余弦定理cosB，
∴sinB．
正弦定理：，
可得：AC．
故答案为：，．
9.（2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3，，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得，
因为，所以；因为，所以解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以；
因为为的内角，所以.
因为.
10．（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得
因为角为三角形内角
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
=
=
=
=
=
=
的最大值是1
11．（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】中，，
由正弦定理可得，
整理可得，
又A为三角形内角，，
所以，
由B为三角形内角，可得；
由的面积为，即，
所以，
又，
由余弦定理得，
所以，
所以的周长为．
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能利用正弦定理
余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题；
能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享
【正弦定理】?（R为外接圆的半径）.
【余弦定理】①;;
②
③在三角形△ABC中，若，则C为直角；若
，则C为钝角；若，则C为锐角。
【三角形常用结论
】
（1）
（2）在△ABC中，有.
（3)面积公式：
①，②.
【三角恒等变换公式】
（其中是三角形的三个内角）
三、题型分析
(一)
利用余弦定理解三角形
例1.
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=（
）
（A）
（B）
（C）2
（D）3
例2.在中，已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【变式训练2】．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积
最值问题
例3.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
例4.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
【变式训练1】．若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
【变式训练2】（2013陕西）设△ABC的内角A,
B,
C所对的边分别为a,
b,
c,
若,
则△ABC的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【变式训练3】（2016年全国II）的内角的对边分别为，若，
，，则
．
(三)
正余弦定理与三角变换的综合应用
例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（
）
A．
B．
C．
D．
例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求角的大小.
【变式训练2】.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
四、迁移应用
1.若内角A、B、C所对的边分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则
A．
B．
C．
D．
4．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则
A．
B．
C．
D．
5．钝角三角形的面积是，，，则=
A．5
B．
C．2
D．1
6．在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是
A．3
B．
C．
D．
7.在中，内角A、B、C所对的边长分别为，且，则__________.
8．（2019·浙江高考模拟）在ABC
中，C＝45°，AB＝6
，D
为
BC
边上的点，且AD＝5，BD＝3
，则cos
B＝_____
，AC＝_____．
9.在△ABC中，a=3，，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
10．已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
11．在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
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