中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.2
正弦定理与余弦定理应用课时训练
【基础巩固】
1.在中，内角为钝角，，，，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为为钝角，，所以由余弦定理得，即，解得（舍去）.故选A.
2.（2018四川成都七中3月模拟）在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】作，垂足点在的延长线上，为等腰直角三角形，设，则，，，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，，则
（
）
A.
1
B.
C.
D.
4
【答案】.D
【解析】因为，
由正弦定理可得
，
所以，因为，，所以.
由余弦定理得
，因为，，可解得.故选B.
4．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：
，即，
∵，，为三角形的内角，∴，即，
则为直角三角形，故选B．
5.（2018合肥三模）若的三个内角，，所对的边分别是，，，若
，且，则
（
）
A.
10
B.
8
C.
7
D.
4
【答案】B
【解析】，
即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，，
即，则，故选B.
6．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，
且
由余弦定理可得：．故选A．
7．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】∵，由正弦定理，，∴，
∵，，为的内角，∴，，，
∴，，整理得，
∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．
8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知，，，
∴由余弦定理，可得：，
解得：，，∴．故选A．
9.（2018广西钦州三模）的内角，，所对应的三条边分别为，，，若，，则
.
【答案】.
【解析】因为中，，，根据正弦定理，得，
，所以.
10．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，，
∵，∴，即．
∵∴，∴，∴．
（2）由可得．∴，
∵，∴由余弦定理得：，
∴．
【能力提升】
11.在中，
，，分别为内角，，的对边，.、分别是边和的中点，与交于点，，则面积的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】依题意，为的重心，因为，所以，.设，则.在中，有，在中，有，两式相加，则.
又，消去，得，因为，所以所以，所以.
当且仅当时，的面积取得最大值，最大值为.故选A.
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
所以，
所以．由同角三角函数得，
由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．
13.（2018云南保山二模）在中，若，则
的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设的内角，，所对应的三条边分别为，，，则有
，由正弦定理得：
，所以，则，当且仅当时，等号成立，故选B．
14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中，，，分别为角，，
的对边，若的面积为，且，则（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得，
∵，∴，
即，即，则，
∵，∴，∴，即，
则，故选D．
【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．
15．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，，的对边
分别为，，，若，，则角（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
由正弦定理可得：，
∵，∴，即，
∵，∴.故选D．
【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由，可得，再由正弦定理得到，结合，即可求得的值．
16.（2018东北三省四市第二次模拟）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高
米.
【答案】
【解析】在中，，即
，得，因为是直角三角形，且，所以（米）.
17.（2018江西上饶二模）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
【答案】.
【解析】由得，所以，因为是锐角三角形，所以，得，所以是最小边，则是最小角，所以，即，即，因为，所以，所以是最大边，则是最大角，所以，则，即，即.
，整理得，所以.
18．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
即，
∵，∴，∵，∴．
（2）∵，，的面积为，
，∴，
∴由余弦定理可得：，
即，解得：，
∴的周长为.
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合，可求．
（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的周长的值．
【高考真题】
19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则
的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
20．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若
，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.
【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思
21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
22．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
故，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
【解析】(Ⅰ)由得，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由．
所以的最小值为．
25．（2017新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【解析】（1）由题设得，即
由正弦定理得．故．
（2）由题设及（1）得
所以，故．由题设得，即．
由余弦定理得，即，得．
故的周长为．
26．（2017新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，
已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【解析】（1）由已知得
，所以．
在中，由余弦定理得，即．
解得（舍去），
（2）有题设可得，所以．
故面积与面积的比值为．
又的面积为，所以的面积为．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.2
正弦定理与余弦定理应用课时训练
【基础巩固】
1.在中，内角为钝角，，，，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2.（2018四川成都七中3月模拟）在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则
（
）
A.
B.
C.
D.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，，则
（
）
A.
1
B.
C.
D.
4
4．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5.（2018合肥三模）若的三个内角，，所对的边分别是，，，若
，且，则
（
）
A.
10
B.
8
C.
7
D.
4
6．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9.（2018广西钦州三模）的内角，，所对应的三条边分别为，，，若，，则
.
10．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【能力提升】
11.在中，
，，分别为内角，，的对边，.、分别是边和的中点，与交于点，，则面积的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（
）
A．
B．
C．或
D．
13.（2018云南保山二模）在中，若，则
的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中，，，分别为角，，
的对边，若的面积为，且，则（
）
A．1
B．
C．
D．
15．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，，的对边
分别为，，，若，，则角（
）
A．
B．
C．
D．
16.（2018东北三省四市第二次模拟）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，（米），并在处测得塔顶的仰角为，则塔高
米.
17.（2018江西上饶二模）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
18．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【高考真题】
19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则
的面积为_________．
20．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若
，则___________，___________．
【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思
21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
22．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
25．（2017新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
(1)求；
(2)若，，求的周长．
26．（2017新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，
已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)