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突破1.1.1
正弦定理重难点突破
考纲要求
熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；
能根据条件，判断三角形解的个数；
能利用正弦定理
三角变换解决较为复杂的三角形问题；
能利用三角函数的正弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享
【正弦定理】?（R为外接圆的半径）.
【正弦定理的变形】①
②
【三角形常用结论
】
（1）
（2）在△ABC中，有.
（3)面积公式：
①，②.
【三角恒等变换公式】
（其中是三角形的三个内角）
三、题型分析
(一)
利用正弦定理解三角形
例1.已知三角形中，，，，则（
）
A.2
B.
C.
D.
例2．（2019·北京高考模拟（理））在△ABC中，，c=4，，则b=（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式训练1】．（2019·北京人大附中高考模拟（理））在三角形ABC中,,则（
）
A．
B．或
C．
D．或
【变式训练2】．（2019·辽宁高考模拟（文））在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（2017山东）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A．
B．
C．
D．
(二)
利用正弦定理求最值或范围或面积
例3.（2016高考北京文）在△ABC中，
，，则=_________.
例4.（2017浙江，11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，
．
【变式训练1】．（2019·浙江高考模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.
【变式训练2】．在中，已知，，，且于，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练3】．(2014重庆)已知的内角，，满足
=，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（2015新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，则
的取值范围是_______．
(三)
正弦定理与三角变换的综合应用（实际应用）
例5.（2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，
的俯角分别为，
，此时气球的高是，则河流的宽度等于
（
）
A．
B．
C．
D．
例6．（2019·山东省临沂市第十九中学高考模拟（理））如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
【变式训练1】．（2019年高考浙江卷）在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【变式训练2】．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，
，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
四、迁移应用
1．在，内角所对的边长分别为．若，且，
则=（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知中，，，，那么（
）
A.
B.
C.或
D.或
3．（2019·北京高考模拟（理））在中，已知BC=6，AC=4，，则∠B=______．
4．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏
北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m．
5．（2011新课标）中，，则AB+2BC的最大值为____．
6．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
7．（2018北京）在中，，，．
(1)求；(2)求边上的高．
8.（2019·浙江高三开学考试）在中，角所对的边分别为，已知且
（1）判断的形状；
（2）若，求的面积.
9．（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
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突破1.1.1
正弦定理重难点突破
考纲要求
熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；
能根据条件，判断三角形解的个数；
能利用正弦定理
三角变换解决较为复杂的三角形问题；
能利用三角函数的正弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享
【正弦定理】?（R为外接圆的半径）.
【正弦定理的变形】①
②
【三角形常用结论
】
（1）
（2）在△ABC中，有.
（3)面积公式：
①，②.
【三角恒等变换公式】
（其中是三角形的三个内角）
三、题型分析
(一)
利用正弦定理解三角形
例1.已知三角形中，，，，则（
）
A.2
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以，又由正弦定理，知，得.
例2．（2019·北京高考模拟（理））在△ABC中，，c=4，，则b=（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，c=4，，
∴
，
∴由正弦定理
，可得：，解得：b=3．
故选：B．
【变式训练1】．（2019·北京人大附中高考模拟（理））在三角形ABC中,,则（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【解析】由正弦定理得或，选D.
【变式训练2】．（2019·辽宁高考模拟（文））在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，，AC，，
由正弦定理得，，则sinB，
所以B＝或，
因为AB＞AC，所以C＞B，则B＝，
则A=
故选：C．
【变式训练3】．（2017山东）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，
得，
即，所以，即，选A．
(二)
利用正弦定理求最值或范围或面积
例3.（2016高考北京文）在△ABC中，
，，则=_________.
【答案】1
【解析】由正弦定理知，所以，则，所以
，所以，即．
例4.（2017浙江，11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，
．
【答案】
【变式训练1】．（2019·浙江高考模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.
【答案】
16
【解析】因为，所以，因此
因为，所以
因为()=,所以的面积等于
【变式训练2】．在中，已知，，，且于，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图所示，由题意知，则，
由正弦定理，所以，
在中，有.故选D.
【变式训练3】．(2014重庆)已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
【变式训练3】．（2015新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，则的
取值范围是_______．
【答案】
【解析】如图作，使，，作出直线分别交线段、于、两点（不与端点重合），且使，则四边形就是符合题意的四边形，过作的平行线交于点，在中，可求得
，在中，可求得，所以的取值范围为．
(三)
正弦定理与三角变换的综合应用（实际应用）
例5.（2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，
的俯角分别为，
，此时气球的高是，则河流的宽度等于
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为从气球上测得正前方的河流的两岸，
的俯角分别为，
，，
，
，故选C.
例6．（2019·山东省临沂市第十九中学高考模拟（理））如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
【答案】
【解析】由已知得
由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．
故答案为.
【变式训练1】．（2019年高考浙江卷）在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.
【变式训练2】．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，
此时气球的高是，则河流的宽度等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴．
四、迁移应用
1．在，内角所对的边长分别为．若，且，
则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
2．已知中，，，，那么（
）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，所以或，因为，根据三角形中大边对大角，所以，因此.
3．（2019·北京高考模拟（理））在中，已知BC=6，AC=4，，则∠B=______．
【答案】
【解析】∵BC=6，AC=4，，由正弦定理，得：sinB=，
∵AC＜BC，∴得B为锐角，所以B=．
故答案为：．
4．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏
北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m．
【答案】
【解析】依题意，，，在中，
由，
所以，因为，由正弦定理可得，
即
m，在中，因为，，
所以，所以
m．
5．（2011新课标）中，，则AB+2BC的最大值为____．
【答案】
【解析】
在中，根据，
得，同理，
因此
．
6．（2019·浙江高考模拟）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，∵，
∴，∴，
由正弦定理可得，即，
当时，.当时，则的最小值为．
故答案为：.
7．（2018北京）在中，，，．
(1)求；(2)求边上的高．
【解析】(1)在中，∵，∴，∴．
由正弦定理得，∴．
∵，∴，∴．
(2)在中，∵
==．
如图所示，在中，∵，∴=，
∴边上的高为．
8.（2019·浙江高三开学考试）在中，角所对的边分别为，已知且
（1）判断的形状；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）因为，由正弦定理，得
，
即＝，
所以，故或．
当时，，故为直角三角形；
当时，，故为等腰三角形．
（2）由（1）知，，则，
因为，所以由余弦定理，得，
解得，
所以的面积．
9．（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】中，，
由正弦定理可得，
整理可得，
又A为三角形内角，，
所以，
由B为三角形内角，可得；
由的面积为，即，
所以，
又，
由余弦定理得，
所以，
所以的周长为．
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