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突破1.2
正弦定理与余弦定理应用重难点突破
考情分析
该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.
二、经验分享
1.内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
，
2.正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式：
；
；
；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
3.余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
4.面积公式：
（其中为三角形内切圆半径,）.
5.射影定理：
a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．
特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
三、题型分析
(一)三角函数与函数图像的综合应用
例1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．
【变式训练1】．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运
动，∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图像大致为（
）
A
B
C
D
【答案】B
【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．
【变式训练2】．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C．
【变式训练3】．（2015湖南）已知函数则函数的图象的一条对称轴是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，
得，所以，所以，
由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同，
令，则，所以函数的图象的对称轴为
，当，得，选A．
(二)
三角函数的综合应用
例2．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：
，.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】（Ⅰ）因为，
又，所以，，
当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为
（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.
由（Ⅰ）得，
所以，即，
又，因此，即，
故在10时至18时实验室需要降温.
【变式训练1】．（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【答案】
【解析】在中，=，同理可得-，
又=(+)，平方得=，
所以，
故答案为(1).
(2).
【变式训练2】．（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
即：
由正弦定理可得：
（2），由正弦定理得：
又，
整理可得：
解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，
整理可得：，即
由，所以
.
(三)
解三角形应用举例
例3．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴．
【变式训练1】．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值
计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，
“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=
．
【答案】
【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以．
【变式训练2】．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏
北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m．
【答案】
【解析】依题意，，，在中，
由，
所以，因为，由正弦定理可得，
即
m，在中，因为，，
所以，所以
m．
【变式训练3】．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．
【答案】150
【解析】在三角形中，，在三角形中，
，解得，
在三角形中，，故．
四、迁移应用
1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而
成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为（黄金分割比）时，
扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（
）
A．127．50°
B．137．50°
C．147．50°
D．150．50°
【答案】B
【解析】，
2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ
B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ
D．2β+2sinβ
【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，
即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，
AB＝2?2sinβ＝4sinβ，
扇形AOB的面积为?2β?4＝4β，
△ABQ的面积为（2+2cosβ）?4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，
S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β?2?2sin2β＝4sinβ，
即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．
故选：B．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
4．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（
）
A．函数的最小正周期是
B．图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．图像关于点对称
【答案】C
【解析】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；
对于，令，则为最大值，
函数图象关于直线，对称是正确的；
对于中，，则，，
则函数在区间上先减后增，不正确；
对于中，令，则，
图象关于点对称是正确的，
故选：．
5．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
由题意作出与在的图象，如图所示：
∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.
∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，
，则，
斜率则
故选：C.
6．【天津市部分区2019届高三联考一模】函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
过，
，,
或，
又，
向右平移个单位，
得，
即，
令，，,
时，为的一条对称轴的方程，故选D.
7．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为，则的图象的一条对称轴可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解：的周期为，图象向右平移个周期后得到的函数为，则，由，，得，，取，得为其中一条对称轴.
故选A.
8．【2018年天津文科16】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos（B）．
∴asinB＝acos（B），即sinB＝cos（B）＝cosBcossinBsincosB，
∴tanB，
又B∈（0，π），∴B．
（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B，
由余弦定理得b，由bsinA＝acos（B），得sinA，
∵a＜c，∴cosA，
∴sin2A＝2sinAcosA，
cos2A＝2cos2A﹣1，
∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB．
9．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx，
（co2xsin2x）﹣sin2x，
cos2xsin2x，
＝sin（2x），
∴Tπ，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴sin（2x）≤1，
∴f（x）
10.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【解析】解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，联结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，B=15，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（?13，9）；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）
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正弦定理与余弦定理应用重难点突破
考情分析
该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.
二、经验分享
1.内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
，
2.正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式：
；
；
；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
3.余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
4.面积公式：
（其中为三角形内切圆半径,）.
5.射影定理：
a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．
特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
三、题型分析
(一)三角函数与函数图像的综合应用
例1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【变式训练1】．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运
动，∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图像大致为（
）
A
B
C
D
【变式训练2】．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（2015湖南）已知函数则函数的图象的一条对称轴是（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
三角函数的综合应用
例2．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：
，.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【变式训练1】．（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【变式训练2】．（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
(三)
解三角形应用举例
例3．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值
计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，
“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=
．
【变式训练2】．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏
北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m．
【变式训练3】．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．
四、迁移应用
1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而
成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为（黄金分割比）时，
扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（
）
A．127．50°
B．137．50°
C．147．50°
D．150．50°
2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ
B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ
D．2β+2sinβ
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
4．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（
）
A．函数的最小正周期是
B．图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．图像关于点对称
5．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
6．【天津市部分区2019届高三联考一模】函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为，则的图象的一条对称轴可以是（
）
A．
B．
C．
D．
8．【2018年天津文科16】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
9．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．
10.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
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