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重难点01三角形中的三角函数重难点课时训练
【基础巩固】
1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而
成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为（黄金分割比）时，
扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（
）
A．127．50°
B．137．50°
C．147．50°
D．150．50°
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π
B．8π
C．9π
D．36π
3．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan
A·tan
B等于( )
A．4
B.
C．－4
D．－
4．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（
）
A．
B．
C．或
D．
6．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________
7．在中，，，，则
．
8．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为
，，，则的值为
．
9．在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
10．【四川省资阳市2017级高三（2020届）第一次诊断性考试数学(理科)】
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
【能力提升】
11.（2018四川成都七中3月模拟）在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则
（
）
A.
B.
C.
D.
12.（2018云南保山二模）在中，若，则的最小值（
）
A.
B.
C.
D.
13．已知的内角，，满足=，面积满足
，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．【2018届重庆市高三上学期期中】已知为的内心，
，若，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
16.（2018江西上饶二模）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
17.【四川省成都市2016级成都一诊理科数学】
已知G为的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q
.
若，则当与的面积之比为时，实数的值为________________
18．在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，，则=_______．
19【2017福建厦门一中上学期期中】如图,半径为1的扇形的圆心角为120°,点在上,且,若,则____________．
20.【2017辽宁三11月月考】已知△的面积满足,且,．
（1）若,,求的取值范围；
（2）求函数的最大值．
【高考真题】
21．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，，
则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2013福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，
，，则的长为_______________．
23．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
．
①若；则
②若；则
③若；则
④若；则
⑤若；则
24.【2019江苏12】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是
.
25.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
26.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上，若，
则____，________.
27.(2019全国Ⅰ理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
28.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
29.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
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重难点01三角形中的三角函数重难点课时训练
【基础巩固】
1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而
成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为（黄金分割比）时，
扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（
）
A．127．50°
B．137．50°
C．147．50°
D．150．50°
【答案】B
【解析】，
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π
B．8π
C．9π
D．36π
【答案】C
【解析】c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
3．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan
A·tan
B等于( )
A．4
B.
C．－4
D．－
【答案】B
【解析】由条件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cos
C＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，所以3cos
Acos
B＋3sin
Asin
B－5cos
Acos
B＋5sin
Asin
B＝0，即cos
Acos
B＝4sin
Asin
B，所以tan
Atan
B＝，故选B.
4．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】∵，由正弦定理得：，，代入，
得，∴进而可得，
∴，则是等边三角形．故选D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
所以，
所以．由同角三角函数得，
由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．
6．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________
【答案】
【解析】∵，
∴，
则，结合正弦定理得，即，
由余弦定理得，化简得，
故，，故答案为．
7．在中，，，，则
．
【答案】1
【解析】∵，而．
8．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为
，，，则的值为
．
【答案】8
【解析】
因为，所以，
又，，解方程组，得，，
由余弦定理得，所以．
9．在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，，所以由正弦定理得．
（Ⅱ）因为，所以，由，所以．
由余弦定理得，
解得或（舍）．所以△ABC的面积．
10．【四川省资阳市2017级高三（2020届）第一次诊断性考试数学(理科)】
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）（2）的最大值为8
【解析】（1）由，根据正弦定理，有，
即有，则有，又，所以，．
（2）由（1），，则，又△ABC为锐角三角形，
所以，且，所以，于是．
则．
又，所以，的取值范围是．
【能力提升】
11.（2018四川成都七中3月模拟）在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】作，垂足点在的延长线上，为等腰直角三角形，设，则，，，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.
12.（2018云南保山二模）在中，若，则的最小值（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】设的内角，，所对应的三条边分别为，，，则有
，由正弦定理得：
，所以，则，当且仅当时，等号成立，故选B．
13．已知的内角，，满足=，面积满足
，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，由
得，即，
整理得，又，
因此，由得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
14．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的
最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意可得
（其中，），∵,
∴，，
15．【2018届重庆市高三上学期期中】已知为的内心，
，若，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
其中BC=a、AC=b、AB=c，将O点取作A点带入得到
，故
由余弦定理得到
，
又因为
，最终求得
，故
．故答案选D.[来源:学科网]
16.（2018江西上饶二模）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则取值范围是
．
【答案】
【解析】由得，所以，因为是锐角三角形，所以，得，所以是最小边，则是最小角，所以，即，即，因为，所以，所以是最大边，则是最大角，所以，则，即，即.
，整理得，所以.
17.【四川省成都市2016级成都一诊理科数学】
已知G为的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q
.
若，则当与的面积之比为时，实数的值为________________
【答案】
【解析】由题意得：，设即
因为三点共线PGD，=，
所以，，
，，或，或。
18．在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，，则=_______．
【答案】4
【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，
，，=
4．
（方法二），
．由正弦定理，得：上式．
19【2017福建厦门一中上学期期中】如图,半径为1的扇形的圆心角为120°,点在上,且,若,则____________．
【答案】
【解析】如图所示,
建立直角坐标系．∵,．∴,即．∵,∴,即．又,．∴
,解得．∴,故答案为．
20.【2017辽宁三11月月考】已知△的面积满足,且,．
（1）若,,求的取值范围；
（2）求函数的最大值．
【分析】（1）由已知数量积可得,代入,可得,从而求出的范围,再由向量模的公式可得,从而求得答案；（2）化简函数,令,然后利用配方法求得函数的最大值．
因为,所以,
,所以．
（2）,
设,
因为,所以,
所以,,
对称轴,所以当时,．
【点评】(1)平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
(2)求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；③型,可化为求最值；④形如可设换元后利用配方法求最值.本题是利用方法①的思路解答的.
【高考真题】
21．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，，
则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得
，则，在中，
由正弦定理得，解得．
22．（2013福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，
，，则的长为_______________．
【答案】
【解析】∵
∴根据余弦定理可得，．
23．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
．
①若；则
②若；则
③若；则
④若；则
⑤若；则
【答案】①②③
【解析】①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：．
24.【2019江苏12】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是
.
【答案】
【解析】
设，
，
所以，解得，
所以，，
，
因为，所以，
所以，所以.
25.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【解析】由余弦定理有，
因为，，，所以，
所以，.
26.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上，若，
则____，________.
【解析】在直角三角形ABC中，，，，，
在中，，可得；
，，
所以.
27.(2019全国Ⅰ理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
28.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．
因此，面积的取值范围是．
29.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）由余弦定理，得，即.所以.
（2）因为，由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
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