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三角形中的三角函数重难点突破
考情分析
根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.
二、经验分享
(1)若△ABC是锐角三角形,则,、
(2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则
(3)
△ABC中,若,则,,=.
(4)若成等差数列,则
三、题型分析
(一)正余弦定理与三角恒等变换的综合应用
例1．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，
，则=_______．
【答案】4
【解析】（方法一）
考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，
，，=
4．
（方法二），
．
由正弦定理，得：上式．
【变式训练1】．已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
【变式训练2】．已知的内角的对边分别为，若
（1）求角C；
（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.
【解析】（1）由题
又
（2）记，则，在中，，
在中，，即
即或（舍）
(二)
正余弦定理与平面向量的综合应用
例2．在△ABC中，A>B，BC=10，，，若点P是△ABC所在平面内任意一点，
则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】：如图，作，D在边BC上，则
在△ACD中，，则
由正弦定理知：CD=4AD=4BD，则BC=CD+BD=5BD=10
故BD=AD=2，CD=8，又，故，则
又，即，故选D．
【变式训练1】.（2019江苏12）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与
CE交于点.若，则的值是
.
【解析】：
设，
，
所以，解得，
所以，，
，
因为，所以，
所以，所以.
【变式训练2】.设，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，以为边向外作正（与不重叠），且正的边长为，为的中点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】设0A与x轴的夹角为，写出，
所以，最大值
【变式训练3】.已知的外接圆圆心为O，，，若
（为实数）有最小值，则参数的取值范围是
.
【答案】
【解析】由已知得：
原式有最小值；
所以
(三)
解三角形应用举例
例3．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B
点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的
救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】由题意知海里，
在中，由正弦定理得
=，
又海里，
在中，由余弦定理得
=
30（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要1小时．
【变式训练1】某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？
【解析】（1），同理：，．
AD—AB=DB，故得，解得．
因此，算出的电视塔的高度是124m．
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，
取等号）故当时，最大．
因为，则，所以当时，-最大．故所求的是m．
四、迁移应用
1．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以由余弦定理，
得，
所以，故选A．
2．的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意及三角形的面积公式知，
所以，所以在中，．故选C．
3．已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
4．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴．
5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，则（
）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，得，
即，，∴
6.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知的内角的对边分别为，若
（1）求角C；
（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.
【解析】（1）由题
又
（2）记，则，在中，，
在中，，即
即或（舍）
7．【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求的周长．
【答案】（1）,（2）
【解析】（1）由题知，，
于是，
（2）由（1）知，，，由得，
由余弦定理得b2＝a2＋c2-2ac·cosB＝（a＋c）2-32＝4，
故a＋c＋b＝8，故△ABC的周长为8．
8．已知函数的周期为，图像的一个对称中心为
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位
长度后得到函数的图像．
(1)求函数与的解析式；
(2)是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．
【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得
又曲线的一个对称中心为，
故，得，所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
（Ⅱ）当时，，，所以．
问题转化为方程在内是否有解
设，
则
因为，所以，在内单调递增
又，
且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，
即存在唯一的满足题意．
（Ⅲ）依题意，，令
当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，
现研究时方程解的情况
令，
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
，令，得或．
当变化时，和变化情况如下表
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以
综上，当，时，函数在内恰有个零点
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三角形中的三角函数重难点突破
考情分析
根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.
二、经验分享
(1)若△ABC是锐角三角形,则,、
(2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则
(3)
△ABC中,若,则,,=.
(4)若成等差数列,则
三、题型分析
(一)正余弦定理与三角恒等变换的综合应用
例1．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，
，则=_______．
【变式训练1】．已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．已知的内角的对边分别为，若
（1）求角C；
（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.
(二)
正余弦定理与平面向量的综合应用
例2．在△ABC中，A>B，BC=10，，，若点P是△ABC所在平面内任意一点，
则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019江苏12）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是
.
【变式训练2】.设，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，以为边向外作正（与不重叠），且正的边长为，为的中点，则的最大值为________．
【变式训练3】.已知的外接圆圆心为O，，，若
（为实数）有最小值，则参数的取值范围是
.
(三)
解三角形应用举例
例3．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B
点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的
救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【变式训练1】某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？
四、迁移应用
1．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，则（
）
B．
C．
D．
6.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知的内角的对边分别为，若
（1）求角C；
（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.
7．【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求的周长．
8．已知函数的周期为，图像的一个对称中心为
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位
长度后得到函数的图像．
(1)求函数与的解析式；
(2)是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．
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