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突破2.1
数列的概念及其简单表示法课时训练
【基础巩固】
1.
诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（
）
A.
B.
C.
D.
2.
我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，
两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一
尺，以每天减半。问两鼠在第几天相遇？（
）
A.
第2天
B.第3天
C.第4天
D.第5天
3.著名的斐波那契数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故还称为“兔子数列”，它满足：，且，则
。
4．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:
，…，该数列的特点是：前两个数均为
，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（
）
A.
B.
C.
D.
6.下表给出一个“三角形数阵”：
，
，
，
……
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次．
7.在数列中,
,,则该数列的通项公式=
．
8.已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
【能力提升】
9．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________．
10.已知正项数列的前n项和，且
，若数列，数列的前2020项和为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
11．【2017四川省成都七中实验学校下期中】数列满足：,且对任意的都有：,则
．
12．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】已知数列满足，且，则__________．
13.设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，
,则(
)
A．当b=时，a10＞10
B．当b=时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10
D．当b=-4时，a10＞10
14．数列满足，则的前60项和为(
)
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
15．若数列中的最大项是第项，则=____________．
16．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，
，则的值为______．
【高考真题】
17．（2011安徽）若数列的通项公式是,则=（
）
A．15
B．12
C．－12
D．－15
18．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（
）
A．
当
B．
当
C．
当
D．
当
19．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
20．（2014新课标2）数列满足，=2，则=_________．
21．设（2017新课标Ⅲ）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
22．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有
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精品试卷·第
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突破2.1
数列的概念及其简单表示法课时训练
【基础巩固】
1.
诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】：根据题意和选项发现满足题意，即选B选项.
2.
我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只
老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以每
天减半。问两鼠在第几天相遇？（
）
A.
第2天
B.第3天
C.第4天
D.第5天
【答案】B
【解析】第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇
3.著名的斐波那契数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故还称为“兔子数列”，它满足：，且，则
。
【答案】55
【解析】由递推关系，可知前9项分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，所以
4．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.
学科&网
按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.
5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:
，…，该数列的特点是：前两个数均为
，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，得，
，所以；故选A.
6.下表给出一个“三角形数阵”：
，
，
，
……
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次．
【答案】
4
7.在数列中,
,,则该数列的通项公式=
．
【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.
【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填．
【点评】当,且）满足一定条件时,可用…来求通项,这种方法通常叫累加法.
本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.
8.已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
【分析】变形为,构造新数列求解.
【答案】
【解析】由得：
，变形得：
，所以是以2为公比的等比数列，所以
，所以.
【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性.
易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.
【能力提升】
9．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________．
【答案】
【解析】当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为：.
10.已知正项数列的前n项和，且
，若数列，数列的前2020项和为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】由得，整理得
因为所以当时
所以，
11．【2017四川省成都七中实验学校下期中】数列满足：,且对任意的都有：,则
．
【答案】5050
【解析】
令
,则；
[来源:学,科,网]
12．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】已知数列满足，且，则__________．
【答案】
13.设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，
,则(
)
A．当b=时，a10＞10
B．当b=时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10
D．当b=-4时，a10＞10
【答案】A
【解析】对于B，令，得，取，所以，
所以当时，，故B错误；对于C，令，得或，
取，所以，所以当时，，故C错误；
对于D，令，得，取，所以，…，，
所以当时，，故D错误；对于A，，，
，，递增，
当时，，所以，
14．数列满足，则的前60项和为(
)
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
【答案】D
【解析】【法1】有题设知
=1，①
=3
②
=5
③
=7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
【法2】可证明：
【法3】不妨设，得，，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得
15．若数列中的最大项是第项，则=____________．
【答案】4
【解析】由题意得，得，
16．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，
，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为所以，
,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.
【高考真题】
17．（2011安徽）若数列的通项公式是,则=（
）
A．15
B．12
C．－12
D．－15
【答案】A
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故=．故选A.
18．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（
）
A．
当
B．
当
C．
当
D．
当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
19．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
【答案】
【解析】由题意得：
所以．
20．（2014新课标2）数列满足，=2，则=_________．
【答案】
【解析】将代入，可求得；再将代入，可求得；再
将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以．
21．设（2017新课标Ⅲ）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】（1）.
=.（2）
【解析】（1）因为，故当时，
．两式相减得．所以．
又由题设可得．从而的通项公式为
=.
（2）记的前项和为，
由（1）知．
则．
22．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有
【答案】．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）略
【解析】（Ⅰ），
所以
（Ⅱ）
（Ⅲ）当时，
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