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重难点02
三角函数中的最值问题课时训练
【基础巩固】
1.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2018四川联测促改4月联考）函数在区间上的最小值是（
）
A.
B.
0
C.
1
D.
2
4.（2018河北石家庄一模）若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
5.（2018辽宁朝阳三模）已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
6.若将函数的图象向左平移个单位,所得的图象关于轴对称,则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
7.（2018南京师大附中考前模拟）设函，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________.
8.函数（φ∈R）为偶函数，则|φ|的最小值为________．
9.【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学试题】已知函数
(其中为实数)，若对恒成立，则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)
10.已知函数，则的最小值是_____________．
11.【2019河南省天一大联考】已知函数．
（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；
（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值．
【能力提升】
12.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】
函数在上单调递增，且图像关于对称，则w的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
13.【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学试题】
设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
14.【2020,9月，资阳一诊】已知当且时，函数取得最大值，则的值为__________．
15.已知函数．
(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;
(2)若存在使成立,求实数m的取值范围.
16.（2018湖北武昌区5月调研）在中，角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且.
（1）求和的值；
（2）求面积的最大值.
【高考真题】
17．（2016年天津）已知函数，．若在区间
内没有零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
18．(2018全国卷Ⅰ)已知函数，则（
）
A．的最小正周期为，最大值为3
B．的最小正周期为，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
19．(2018全国卷Ⅱ)若在是减函数，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2013山东）将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则
的一个可能取值为（
）
A．
B．
C．0
D．
21．（2017新课标Ⅱ）函数的最大值为
．
22.（全国Ⅰ文15）函数的最小值为___________．
23．（2015山东）设．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△面积的最大值．
24．（2018北京）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若在区间上的最大值为，求的最小值．
25．（2014天津）已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值．
26．(安徽)
设函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时，
；
求在上的解析式．
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重难点02
三角函数中的最值问题课时训练
【基础巩固】
1.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由已知得：，图像经过
【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】的图象向左平移个单位长度后,得到函数
,因为的图象关于原点对称,所以，所以，.
3.（2018四川联测促改4月联考）函数在区间上的最小值是（
）
A.
B.
0
C.
1
D.
2
【答案】A
【解析】由题意，
因为，所以，所以，所以．故选A．
4.（2018河北石家庄一模）若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】向右平移个单位可得，
，因为函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，所以，当时，的最小值为，故选B.
5.（2018辽宁朝阳三模）已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】因为，，又在区间上有最小值，无最大值，所以在处取得最小值，所以，得Z，当时，，此时函数在区间内存在最大值，当时，符合题意.故选C.
6.若将函数的图象向左平移个单位,所得的图象关于轴对称,则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移个单位,得到
图象关于轴对称,即,解得,又,当时,
的最小值为,故选B.
7.（2018南京师大附中考前模拟）设函，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________.
【答案】
【解析】，由题意得
，得，所以.因为，所以，
因此.所以在区间上的最大值为.
8.函数（φ∈R）为偶函数，则|φ|的最小值为________．
【答案】
【解析】由已知，得（k∈Z），∴（k∈Z），∴．
9.【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学试题】已知函数(其中
为实数)，若对恒成立，则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个
值即可)
【答案】答案不唯一，如：
【解析】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．
若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z；
10.已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
11.【2019河南省天一大联考】已知函数．
（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；
（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值．
【分析】（1）化为,可得周期,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而的最大值为,解得.
【解析】（1）,
则函数的最小正周期,
根据,,得,,
所以函数的单调递增区间为,．
（2）因为,所以,则当,时,函数取得最大值0,
即,解得．
【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.
【能力提升】
12.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】
函数在上单调递增，且图像关于对称，则w的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
【答案】A
【解析】函数的递增区间，化简得：已知在单增，所以又因为图像关于对称，
所以.因为此时k=-1,所以
【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。
13.【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学试题】
设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，有，所以.
在区间上总存在唯一确定的，使得，
所以存在唯一确定的，使得.
，所以.故选B.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.求解时，先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.
14.【2020,9月，资阳一诊】已知当且时，函数取得最大值，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意可得：其中，
，.因为
要取得最大值，，
带入以上所求，化简：，解：
15.已知函数．
(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;
(2)若存在使成立,求实数m的取值范围.
【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出的最小值即可；
(2)根据的范围求出的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m＝的取值范围．
【解析】(1)首先将函数的解析式化简为：
,又因为函数的图像关于直线对称,所以
,即,又因为,所以的最小值为．
(2)
16.（2018湖北武昌区5月调研）在中，角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且.
（1）求和的值；
（2）求面积的最大值.
【解析】（1）因为，所以.
所以，，
因为，所以.
因为，所以.因为，所以.
由正弦定理，得.
（2）由余弦定理，得，所以.
由基本不等式，得，所以.
因为，所以.
所以面积的最大值为.
【高考真题】
17．（2016年天津）已知函数，．若在区间内
没有零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，当
时，
，时，，无零点，排除A,B；当时，
，时，，有零点，排除C．故选D．
18．(2018全国卷Ⅰ)已知函数，则（
）
A．的最小正周期为，最大值为3
B．的最小正周期为，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
【答案】B
【解析】易知
，则的最小正周期为，当时，取得最大值，最大值为4．
19．(2018全国卷Ⅱ)若在是减函数，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解法一
，当时，
，所以结合题意可知，即，故所求的最大值是，故选C．
解法二
，由题设得，
即在区间上恒成立，当时，，
所以，即，故所求的最大值是，故选C．
20．（2013山东）将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则
的一个可能取值为（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】将函数的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数
，因为此时函数为偶函数，
所以，即，所以选B.
21．（2017新课标Ⅱ）函数的最大值为
．
【答案】．
【解析】因为，由辅助角公式．?
22.（全国Ⅰ文15）函数的最小值为___________．
【答案】．-4
【解析】
=.
因为，当时，取得最小值，.
23．（2015山东）设．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）由题意．
由，可得；
由，得；
所以的单调递增区间是；
单调递减区间是．
（Ⅱ），，由题意是锐角，所以．
由余弦定理：，
，且当时成立．
．面积最大值为．
24．（2018北京）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若在区间上的最大值为，求的最小值．
【解析】(1)，
所以的最小正周期为．
(2)由(1)知．因为，所以．
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．
所以，即．
所以的最小值为．
25．（2014天津）已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）由已知，有
.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.
，，.
所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
26．(安徽)
设函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时，
；
求在上的解析式．
【解析】
（1）函数的最小正周期．
（2）当时，
当时，
当时，
得：函数在上的解析式为．
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