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突破2.2
等差数列重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【基础知识】
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N
（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
①等差数列定义：定义法或。
②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
2、等差数列的判断方法：定义法或
3、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
4、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
6、若是等差数列
，
，…也成等差数列.
【方法总结】
1、等差数列基本运算的解题思路：
（1）设基本量a1和公差d．
（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种：
（1）定义法.
（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.
3、等差数列前n项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；
若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.
4、等差数列的判定与证明的方法：
定义法：或是等差数列；
定义变形法：验证是否满足；
等差中项法：为等差数列；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
前n项和公式法：为常数为等差数列．
5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：
（1）熟练掌握等差数列性质的实质
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
（2）应用等差数列的性质解答问题的关键
寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则
，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.
6、等差数列的前n项和的最值问题
（1）二次函数法：
，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
（2）通项公式法：
求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．
三、题型分析
(一)
等差数列的概念及其定义
一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，
即：____________________________或____________________________。
特别注意：证明或判断等差数列____________________________。
例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，
重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾
每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（
）
A．6斤
B．7斤
C．9斤
D．15斤
【变式训练1】．等差数列满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．在等差数列中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____．
【变式训练4】．设数列都是等差数列，若，，则____．
(二)
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。
例2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学试题】在等差数列中，
，，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1】．已知递增的等差数列满足，，则=____．
【变式训练2】．求下列数列的通项公式
（1）.已知Sn为等差数列的前n项和，，，求的通项公式；
（2）.已知等差数列中，=1，，求数列的通项公式；
.已知等差数列满足，．求的通项公式；
（4）.等差数列中，，求数列的通项公式；
（5）.设是等差数列，且．求的通项公式；
(三)
等差中项
若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
例3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学理科试题】等差数列的前项和为，若
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】等差数列的前n项
和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则
（
）
A．21
B．24
C．25
D．26
【变式训练2】．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟数学试题】等差数列中，，，
则与等差中项的值为_____.
【变式训练3】．设等差数列的前项和，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练4】．（2018福建南平质检一）等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是
（
）
A.
B.
C.
D.
(四)
等差数列的前n项和
等差数列的前和：____________________________或____________________________。
例4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】记等差数列的前项和为.若，
，则的公差为（
）
A．3
B．2
C．?2
D．?3
例5．（2018广东江门一模）记数列的前项和为，若对任意正整数，都有，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】．【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试数学试题】已知数列是等差数列，
是它的前项和，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学试题】设为等差数列的前项和，若
，，则（
）
A．?3
B．?2
C．2
D．3
【变式训练3】．（2018届广东广州市海珠区高三测试一）《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练4】．（2018辽宁大连二十四中最后一卷）已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
(五)
综合性质
【重难点突破—绝对值求和】
例5．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列满足，则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【重难点突破—求数列最值项或最值问题】
例6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知等差数列的前项和为，
且，则满足的正整数的最大值为（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
【重难点突破—裂项相消求和】
例7.已知等差数列的前项和满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【变式训练1】．
在数列中，若，，则的值（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．
在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练3】．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
四、迁移应用
1．设是数列的前项和，若，则（
）
A．5
B．7
C．9
D．1
2．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学文科试题】已知是等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知数列为等差数列，为其
前项和，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2018江西重点中学下学期联考）在数列中，，，N则的值为（
）
A．
B．5
C．
D．
7.（2018华南师大附中综合练习三）等差数列满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
8.（2018甘肃高考第一次诊断）已知等差数列中，，，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
9．等差数列的前项和为，若，则（
）
A．27
B．36
C．45
D．66
10．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11.（2018湖南湘潭四模）已知数列是公差为的等差数列，且，，则
.
12．已知数列的前项和为，且，则___________．
13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．
14．已知函数，则________；
15.等差数列中，
（1）求该等差数列的通项公式
（2）求该等差数列的前n项和
16．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
18．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
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精品试卷·第
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突破2.2
等差数列重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【基础知识】
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N
（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
①等差数列定义：定义法或。
②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
2、等差数列的判断方法：定义法或
3、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
4、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
6、若是等差数列
，
，…也成等差数列.
【方法总结】
1、等差数列基本运算的解题思路：
（1）设基本量a1和公差d．
（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种：
（1）定义法.
（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.
3、等差数列前n项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；
若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.
4、等差数列的判定与证明的方法：
定义法：或是等差数列；
定义变形法：验证是否满足；
等差中项法：为等差数列；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
前n项和公式法：为常数为等差数列．
5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：
（1）熟练掌握等差数列性质的实质
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
（2）应用等差数列的性质解答问题的关键
寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则
，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.
6、等差数列的前n项和的最值问题
（1）二次函数法：
，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
（2）通项公式法：
求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．
三、题型分析
(一)
等差数列的概念及其定义
一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，
即：____________________________或____________________________。
特别注意：证明或判断等差数列____________________________。
例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，
重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾
每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（
）
A．6斤
B．7斤
C．9斤
D．15斤
【答案】D
【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，
数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．
【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可.
【变式训练1】．等差数列满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可知等差数列的公差为，所以，选C.
【变式训练2】．在等差数列中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，因为，，所以，选B．
【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____．
【答案】20
【解析】
依题意，所以．
或：
【变式训练4】．设数列都是等差数列，若，，则____．
【答案】35
【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的
性质，得，即，解得．
（解法二）设数列的公差分别为,
因为
所以.所以.
(二)
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。
例2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学试题】在等差数列中，
，，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】在等差数列{an}中，由得5a7＝100，即，又由，得4d=12，即d=3，所以2.故选B.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列关于的方程组求解即可.
【变式训练1】．已知递增的等差数列满足，，则=____．
【答案】
【解析】．
【变式训练2】．求下列数列的通项公式
（1）.已知Sn为等差数列的前n项和，，，求的通项公式；
【解析】（1）设的公差为d．由得．由a3=4得．
于是．因此的通项公式为．
（2）.已知等差数列中，=1，，求数列的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为，则
由解得=－2．从而，
.已知等差数列满足，．求的通项公式；
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．因为，所以．
又因为，所以，故．所以．
（4）.等差数列中，，求数列的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为．由已知得，解得．
所以．
（5）.设是等差数列，且．求的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，
又，∴．∴．
(三)
等差中项
若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
例3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学理科试题】等差数列的前项和为，若
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列性质可知：，解得：，，
本题正确选项为B.
【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.利用等差中项的性质可得，求得，再根据下角标的性质可求得结果.
【变式训练1】．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】等差数列的前n项
和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则
（
）
A．21
B．24
C．25
D．26
【答案】D
【解析】因为是方程的两根，所以，
又由，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.求解本题时，根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.
【变式训练2】．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟数学试题】等差数列中，，，
则与等差中项的值为_____.
【答案】11
【解析】根据题意，等差数列中，，，则有，
所以与的等差中项为.故答案为：11．
【名师点睛】本题主要考查了等差中项的概念，充分利用为等差数列时，若，则是解题的关键.求解本题时，利用可得与的等差中项.
【变式训练3】．设等差数列的前项和，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，
，选A.
【变式训练4】．（2018福建南平质检一）等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】依题意，因为为一个确定的常数，所以为一个确定的常数，又因为，所以为一个确定的常数.故选B.
(四)
等差数列的前n项和
等差数列的前和：____________________________或____________________________。
例4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】记等差数列的前项和为.若，
，则的公差为（
）
A．3
B．2
C．?2
D．?3
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知，，解得，故.故选A.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，考查等差数列公差的计算公式，属于基础题.求解时，根据等差数列的性质，由求得的值，根据等差数列公差的计算公式计算出公差.
例5．（2018广东江门一模）记数列的前项和为，若对任意正整数，都有，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以
，即，又由得，所以是等比数列，首项为，公比为，所以.故选B.
【变式训练1】．【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试数学试题】已知数列是等差数列，
是它的前项和，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，解得，
所以，故选B.
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题.解答时，根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可.
【变式训练2】．【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学试题】设为等差数列的前项和，若
，，则（
）
A．?3
B．?2
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题得.故选C.
【名师点睛】本题主要考查等差数列前n项和与通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，由题得到关于的方程组，解方程组即得解.
【变式训练3】．（2018届广东广州市海珠区高三测试一）《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设公差为d，由题意可得：前30项和=420=30×5+d，解得d=.
∴第2天织的布的尺数=5+d=.
故选：A.
【变式训练4】．（2018辽宁大连二十四中最后一卷）已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，所以为单调递减数列，所以，且.所以，
且，化简得且，所以，故选A.
(五)
综合性质
【重难点突破—绝对值求和】
例5．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列满足，则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以
所以前12项之和为.故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，
可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.求解本题时，根据条件，求出等差数列通项公式，写出
【重难点突破—求数列最值项或最值问题】
例6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知等差数列的前项和为，
且，则满足的正整数的最大值为（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】C
【解析】由得，，，，所以公差小于零.
又，，，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.求解时，先由，得到，，，公差小于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.
利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.
【重难点突破—裂项相消求和】
例7.已知等差数列的前项和满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）设的公差为，则=，由已知可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
从而数列.
【变式训练1】．
在数列中，若，，则的值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，数列中，若，，
则，
∴，
∴，故选A．
【变式训练2】．
在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】设等差数列首项为，公差为，
由题意可知，，，
二次函数的对称轴为，开口向下，
又∵，∴当时，取最大值．故选C．
【变式训练3】．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，
则，解得，则．
由于，则，
解得．故答案为10．故选C．
四、迁移应用
1．设是数列的前项和，若，则（
）
A．5
B．7
C．9
D．1
【答案】A
【解析】，．故选A．
2．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学文科试题】已知是等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为.由题意得
解得
所以.故选A.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，计算等差数列的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.对于本题，列出关于的方程组并解出，即可求得的值.
3．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知数列为等差数列，为其
前项和，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，解得：，，
本题正确选项为C.
【名师点睛】本题考查等差数列基本量的求解、前项和的求解问题，属于基础题.求解本题时，利用和表示出已知等式可求得，利用求得结果.
4.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，.
故选A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
5.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以.
故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
6.（2018江西重点中学下学期联考）在数列中，，，N则的值为（
）
A．
B．5
C．
D．
【答案】B
【解析】，所以是周期数列，周期为，则.故选B.
7.（2018华南师大附中综合练习三）等差数列满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设公差为，则，，所以
.故选B.
8.（2018甘肃高考第一次诊断）已知等差数列中，，，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设公差为，由得，，又，所以，所以.故选A.
9．等差数列的前项和为，若，则（
）
A．27
B．36
C．45
D．66
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，∴，故选D．
10．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵是递增数列，∴，∵恒成立，即，
∴对于恒成立，而在时取得最大值，∴，故选D．
11.（2018湖南湘潭四模）已知数列是公差为的等差数列，且，，则
.
【答案】.
【解析】依题意，，则，
所以，所以，
所以
，又，所以，故.
12．已知数列的前项和为，且，则___________．
【答案】
【解析】数列的前项和为，且，，两式想减得到．
13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．
【答案】440
【解析】由可得：
当时，有
①，当时，有②，
当时，有③，
有，有，
则
．
故答案为440．
14．已知函数，则________；
【答案】2018
【解析】∵
，
设，
①
则，
②
得，
∴．故答案为2018．
15.等差数列中，
（1）求该等差数列的通项公式
（2）求该等差数列的前n项和
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴
16．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列
（2）由（1），得，
∴，故，
∴
．
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，两式作差得，
又数列各项均为正数，∴，即，
当时，有，得，则，
故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．
（2），
∴．
18．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列
（2）由（1），得，
∴，故，
∴
．
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