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突破23
等差数列前n项和课时训练
【基础巩固】
1．设等差数列的前项和，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为（
）
A.
B.
C.
D.
3．记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（
）
A．3
B．2
C．?2
D．?3
4．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．等差数列的前项和为，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知等差数列满足，则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
7．已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和，求的值
8.
（2019全国Ⅰ文18）记Sn为等差数列的前n项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的n的取值范围．
【能力提升】
9.（2019·横峰中学高考模拟（理））等差数列{}的前n项和为，若，，则(
)
A．16
B．14
C．12
D．10
10．（2019·河南高考模拟（理））已知等差数列满足，则前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
11．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知数列的前项和为，满足
，则下面选项为等差数列的是(
)
A．
B．
C．
D．
12．（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．
13．（2018·浙江高考模拟）在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2019·奎屯市第一高级中学高一月考（文））等差数列，的前项和分别是，，若，则_______.
15．（浙江省台州市2019届高三4月调研）已知为等差数列的前项和，满足，，则______，的最小值为______.
16.（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知数列中，
，其前项的和为，且满足.
(Ⅰ)
求证：数列是等差数列；
(Ⅱ)
证明：
【高考真题】
17.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
18.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
19.【2017年高考全国I卷理数】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
20.（2018·全国高考真题（理））设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2017新课标全国I理）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
（2014江西）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，
则的取值范围_________．
23.（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和.若
，则的值是
.
24.（2018·全国高考真题（理））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
25.已知数列的首项为，且，N.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
26．已知数列满足：，，数列中，，且，，成
等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
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突破2.3
等差数列前n项和课时训练
【基础巩固】
1．设等差数列的前项和，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，
，选A.
2．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设公差为d，由题意可得：前30项和=420=30×5+d，解得d=.
∴第2天织的布的尺数=5+d=.
故选：A.
3．记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（
）
A．3
B．2
C．?2
D．?3
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知，，解得，
故.故选A.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，考查等差数列公差的计算公式，属于基础题.求解时，根据等差数列的性质，由求得的值，根据等差数列公差的计算公式计算出公差.
4．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，解得，
所以，故选B.
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题.解答时，根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可.
5．等差数列的前项和为，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列性质可知：，解得：，
，本题正确选项为B.
【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.利用等差中项的性质可得，求得，再根据下角标的性质可求得结果.
6．已知等差数列满足，则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以
所以前12项之和为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.求解本题时，根据条件，求出等差数列通项公式，写出利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.
7．已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，
数列的通项为；
（2）数列的前项和，
由，化简得，即，.
8.
（2019全国Ⅰ文18）记Sn为等差数列的前n项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的n的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得．
所以n的取值范围是．
【能力提升】
9.（2019·横峰中学高考模拟（理））等差数列{}的前n项和为，若，，则(
)
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【解析】因为等差数列{}的前n项和为，且，
所以，解得；
又，所以.故选A
10．（2019·河南高考模拟（理））已知等差数列满足，则前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【答案】D
【解析】为，所以.所以所以前12项之和为.
11．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知数列的前项和为，满足
，则下面选项为等差数列的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，代入得则，
故
所以不是等差数列，故A错误；
同理，，，，所以不是等差数列，故B错误；
，，，所以不是等差数列，故D错误；
，所以是等差数列，故选C.
【名师点睛】本题考查数列的递推关系，利用来求解，考查计算推理的能力，属中档题.求解时，由，结合题中条件，可得代入数据，对选项逐一判断即可.
12．（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．
【答案】0
1009或1008
【解析】，，
，，
，，，
，，
故当取得最大值时，或，
故答案为：0，1009或1008．
13．（2018·浙江高考模拟）在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵数列是等差数列，它的前项和有最小值
∴公差，首项，为递增数列
∵
∴，
由等差数列的性质知：，.
∵
∴当时，的最小值为16．
故选C.
14．（2019·奎屯市第一高级中学高一月考（文））等差数列，的前项和分别是，，若，则_______.
【答案】
【解析】∵，
∴，∴．故答案为．
15．（浙江省台州市2019届高三4月调研）已知为等差数列的前项和，满足，，则______，的最小值为______.
【答案】5
-9
【解析】依题意得：，解得，
所以，，
当n＝3时，的最小值为－9故答案为：5；-9.
16.（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知数列中，
，其前项的和为，且满足.
(Ⅰ)
求证：数列是等差数列；
(Ⅱ)
证明：
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）当时，
,
，
，
从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（1）可知，
.
.
【高考真题】
17.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，.
故选A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
18.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以.
故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
19.【2017年高考全国I卷理数】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，
，联立解得.
故选C．
【秒杀解】因为，即，
则，即，解得.
故选C．
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
20.（2018·全国高考真题（理））设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
21．（2017新课标全国I理）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.
（2014江西）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，
则的取值范围_________．
【答案】．
【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．
23.（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和.若
，则的值是
.
【答案】．16
【解析】．
设等差数列的首项为，公差为，
则，解得．
所以.
24.（2018·全国高考真题（理））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
25.已知数列的首项为，且，N.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由得，
两边取倒数得，
故，又，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可知知，故，
因此，
所以
.
26．已知数列满足：，，数列中，，且，，成
等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I），
∴数列是公差为1的等差数列；
（II）由题意可得，即，所以，所以，
∴，∴，
.
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