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突破2.3
等差数列前n项和重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
1.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列）
①或②
2．等差数列的通项公式：
或
3．等差数列的前和：
，
4、等差中项：
⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
⑵当时,则有
三、题型分析
(一)
累加法求数列的前n项和
例1．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，，是方程
的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
【答案】D
【解析】因为，是方程的两根，所以，
又，所以，，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
【变式训练1】．（2013新课标Ⅰ）设等差数列的前n项和为，＝－2，＝0，＝3，
则＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】有题意知==0，∴==（）=2，
=
=3，∴公差==1，∴3==，∴=5，故选C.
例2．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为
所以，
,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.
【变式训练1】．在数列中，若，，则的值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，数列中，若，，
则，
∴，
∴，故选A．
(二)
已知数列的前n项和求其通项公式
例3．数列的前项和为，若，则的值为（
）
A．2
B．3
C．2017
D．3033
【答案】A
【解析】，故选A．
例4．已知数列的前项和为，且，则___________．
【答案】
【解析】数列的前项和为，且，
，两式想减得到．
【变式训练1】在数列中，，，则的通项公式为_________．
【答案】．
【解析】∵当时，，
，
整理可得：，，
为公差为2的等差数列，，
，．
【变式训练2】已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，两式作差得，
又数列各项均为正数，∴，即，
当时，有，得，则，
故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．
（2），
∴．
(三)
等差数列的综合性质
例5.（1）（2018福建漳州三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，，
解得，，所以.故选B.
（2）【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
【变式训练1】．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则
___________.
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,因，所以，即，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
【变式训练2】．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，S5=?10，则
a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】
0，.
【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查.
【变式训练3】．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵是递增数列，∴，∵恒成立，即，
∴对于恒成立，而在时取得最大值，
∴，故选D．
(四)
裂项相消求和
例6.（2018福建南平二模）等差数列中，，前项和，数列满足，则数列的前项和
．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由已知可得，解得，所以，则
，所以.
【变式训练1】．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列
（2）由（1），得，
∴，故，
∴
．
(五)
其他数列（周期性）与证明
例7．数列满足，，则等于（
）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】时，，，，，
∴数列的周期是3，∴．故选B．
例8．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列满足，
则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以
所以前12项之和为.故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.求解本题时，根据条件，求出等差数列通项公式，写出利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.
【变式训练1】．数列的前项和为，若，则（
）
A．2018
B．1009
C．2019
D．1010
【答案】B
【解析】由题意，数列满足，
∴
，故选B．
例9.（2018安徽马鞍山一测）已知数列的首项为，且，N.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由得，两边取倒数得，
故，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可知知，故，因，
所以.
【变式训练1】．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记表示不超过的最大整数，如，.
令，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，又，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即.
当时，，
又符合上式，
故.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以数列的前项和
.
四、迁移应用
1．已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，
联立解得：，
．．
则数列的前2019项和．
故选C．
2．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（
）A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】C
【解析】由得，，，，所以公差小于零.
又，，
，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.求解时，先由，得到，，，公差小于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.
3．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知数列的前项和为，满足
，则下面选项为等差数列的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，代入得则，
故
所以不是等差数列，故A错误；
同理，，，，所以不是等差数列，故B错误；
，，，所以不是等差数列，故D错误；
，所以是等差数列，故选C.
【名师点睛】本题考查数列的递推关系，利用来求解，考查计算推理的能力，属中档题.求解时，由，结合题中条件，可得代入数据，对选项逐一判断即可.
4．在数列中，已知，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将等式两边取倒数得到，，
是公差为的等差数列，，
根据等差数列的通项公式的求法得到，故．故选B．
5．数列中，，且，则数列前2019项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：∵，∴，
整理得：，
∴，又，
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选：B．
6．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，
则，解得，则．
由于，则，
解得．故答案为10．故选C．
7．设数列满足，，___________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，，累加可得，
∵，，∴．故答案为．
8．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟数学试题】等差数列中，，，则与等差中项的值为_____.
【答案】11
【解析】根据题意，等差数列中，，，
则有，
所以与的等差中项为.
故答案为：11．
【名师点睛】本题主要考查了等差中项的概念，充分利用为等差数列时，若，则是解题的关键.求解本题时，利用可得与的等差中项.
9．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二）数学试题】春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天
入院治疗的人数依次构成数列，已知，且满足，则该医院
30天入院治疗流感的人数共有______人．
【答案】255
【解析】由于，
所以n为奇数时，，n为偶数时，，
所以构成公差为2的等差数列，
因为，
所以．
故答案为：255．
【名师点睛】本题的考点是数列的应用，主要考查数列的求和，由于已知的数列既不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法．
10.数列满足：，且，求．
【答案】．
【解析】，，，，
累加可得：，
．
11．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值
【答案】（I）.（II）8.
【解析】（I）设等差数列的公差为，，即，
，，，
是，的等比中项，
，即，解得.
数列的通项公式为.
（II）由（I）得.
，
由，得.
使得成立的最大正整数的值为.
【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题
12．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，，
数列中，，且，，成等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I），
∴数列是公差为1的等差数列；
（II）由题意可得，即，所以，所以，
∴，∴，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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等差数列前n项和重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
1.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列）
①或②
2．等差数列的通项公式：
或
3．等差数列的前和：
，
4、等差中项：
⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
⑵当时,则有
三、题型分析
(一)
累加法求数列的前n项和
例1．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，，是方程
的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
【变式训练1】．（2013新课标Ⅰ）设等差数列的前n项和为，＝－2，＝0，＝3，
则＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
例2．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，，则的值为______．
【变式训练1】．在数列中，若，，则的值（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
已知数列的前n项和求其通项公式
例3．数列的前项和为，若，则的值为（
）
A．2
B．3
C．2017
D．3033
例4．已知数列的前项和为，且，则___________．
【变式训练1】在数列中，，，则的通项公式为_________．
【变式训练2】已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
(三)
等差数列的综合性质
例5.（1）（2018福建漳州三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则
___________.
【变式训练2】．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，S5=?10，则
a5=__________，Sn的最小值为__________．
【变式训练3】．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
(四)
裂项相消求和
例6.（2018福建南平二模）等差数列中，，前项和，数列满足，则数列的前项和
．
【变式训练1】．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
(五)
其他数列（周期性）与证明
例7．数列满足，，则等于（
）
A．
B．
C．2
D．3
例8．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列满足，
则数列的前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【变式训练1】．数列的前项和为，若，则（
）
A．2018
B．1009
C．2019
D．1010
例9.（2018安徽马鞍山一测）已知数列的首项为，且，N.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【变式训练1】．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记表示不超过的最大整数，如，.
令，求数列的前项和.
四、迁移应用
1．已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（
）A．16
B．17
C．18
D．19
3．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知数列的前项和为，满足
，则下面选项为等差数列的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．在数列中，已知，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．数列中，，且，则数列前2019项和为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
7．设数列满足，，___________．
8．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟数学试题】等差数列中，，，则与等差中项的值为_____.
9．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二）数学试题】春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天
入院治疗的人数依次构成数列，已知，且满足，则该医院
30天入院治疗流感的人数共有______人．
10.数列满足：，且，求．
11．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值
12．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，，
数列中，，且，，成等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
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