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突破2.4
等比数列课时训练
【基础巩固】
1．正项等比数列{an}中，若a2a18＝16，则log2a10＝( )
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】：A
【解析】：依题意得，a2a18＝a＝16，又a10>0，因此a10＝4，log2a10＝log24＝2，选A.
2．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则( )
A．a1<0,0B．a1<0，q>1
C．a1>0,0D．a1>0，q>1
【答案】：A
【解析】：∵Sn<0，∴a1<0，
又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，
则－an>－an＋1>0，则q＝∈(0,1)，∴a1<0,03．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9
B．15
C．18
D．30
【答案】：C
【解析】：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
【答案】：B
【解析】：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴
S7＝＝＝381，解得a1＝3.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( )
A．－2或1
B．－1或2
C．－2
D．1
【答案】：C
【解析】：法一：若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错．
若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不满足条件，故B错，因此选C
法二：经检验q＝1不适合，则由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
6．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则＝( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】：D
【解析】：∴3a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2，
∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)．∴＝＝＝q2＝32＝9.
7．数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N
，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】 8 2n＋1－2
【解析】 ∵＝an，∴an＋m＝an·am，∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8.
令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝2n＋1－2.
8．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2，3a1＋d＝，
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，
解得a1＝1，d＝，故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，
从而q＝2，故{bn}的前n项和
Tn＝＝＝2n－1.
【能力提升】
9.已知成等比数列，且．若，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，即，不合题意；
因此，，选B.
10.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A．440
B．330
C．220
D．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，∴am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，
∴T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.
12.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
【解析】(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
【高考真题】
13．（2019年高考全国III卷理数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，
则( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
14．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16
，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440
B．330
C．220
D．110
【答案】A
【解析】对数列进行分组如图
则该数列前组的项数和为
由题意可知，即，解得，
即出现在第13组之后．
又第组的和为
前组的和为
，
设满足条件的的在第(,)组，且第项为第的第个数，第组的前项和为，
要使该数列的前项和为2的整数幂，
即与互为相反数，
即，
所以，
由，所以，则，此时
对应满足的最小条件为，故选A．
15．（2013新课标Ⅰ）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.
【解析】当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
16．（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数
列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)由是，的等差中项得，所以，
解得．
由得，因为，所以．
(2)设，数列前项和为．由，解得．
由(1)可知，所以，
故，，
．
设，，
所以，
因此，，
又，所以．
17．（2015湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，
，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．
【解析】（Ⅰ）由题意有，
，即．
解得
或，故或．
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
.
②
①-②可得
，故．
18．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且
构成等比数列．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
【解析】（Ⅰ）当时，，
（Ⅱ）当时，，
,
当时，是公差的等差数列.
构成等比数列，，，解得,
由（Ⅰ）可知，
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（Ⅲ）
19．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
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等比数列课时训练
【基础巩固】
1．正项等比数列{an}中，若a2a18＝16，则log2a10＝( )
A．2
B．4
C．8
D．16
2．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则( )
A．a1<0,0B．a1<0，q>1
C．a1>0,0D．a1>0，q>1
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9
B．15
C．18
D．30
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( )
A．－2或1
B．－1或2
C．－2
D．1
6．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则＝( )
A．6
B．7
C．8
D．9
7．数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N
，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________.
8．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【能力提升】
9.已知成等比数列，且．若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A．440
B．330
C．220
D．110
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
12.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
【高考真题】
13．（2019年高考全国III卷理数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16
B．8
C．4
D．2
14．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16
，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440
B．330
C．220
D．110
15．（2013新课标Ⅰ）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.
16．（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数
列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
17．（2015湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，
，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．
18．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且
构成等比数列．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
19．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
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