突破2.4
等比数列
一、考情分析
二、经验分享
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：
或。
3．等比数列的前和：
①当时，；
②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
三、题型分析
(一)
等比数列的概念及其定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：＝q
例1．已知{an}是等比数列，,则公比q=（
）
A．
B．-2
C．2
D．
【变式训练1】
已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（
）
A．
B．2
C．
D．
【变式训练2】
已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（
）
A．
B．2
C．
D．
【变式训练3】
（2017·湖南高二月考（文））在等比数列中，，且为和的等差中项，则为
A．9
B．27
C．54
D．81
(二)
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为：。推广形式：an=amqn－m.
注意：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
例2．设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．
【变式训练1】
（2017全国卷3理）设等比数列满足，
，则
___________．
【变式训练2】
（2018·新疆焉耆县第二中学高二期末）在等比数列中，已知，，那么(
)
A.6
B.8
C.16
D.32
【变式训练3】．数列是等差数列，，，则（
）
A．16
B．-16
C．32
D．
(三)
等比中项
若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且，即b=±.
例3．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】
已知在各项为正数的等比数列中，
与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（
）
A.
32
B.
16
C.
8
D.
4
【变式训练1】
设正项等比数列,
,且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若,数列的前项和为,数列满足,
为数列的前项和,若恒成立,求的取值范围.
(四)
等比数列的前n项和
等比数列前n项和公式Sn=
例4．若，4，为等差数列的连续三项，则（
）
A．1023
B．1024
C．2047
D．2048
【变式训练1】（2019·广东高考模拟（理））记为等差数列的前项和，公差，，，成等比数列，则（
）
A．-20
B．-18
C．-10
D．-8
【变式训练2】（2019·湖北孝感高中高二月考）已知数列的前项和为，已知，，.
（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）若对任意都成立，求实数的取值范围.
(五)
综合性质
例5．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（
）
A.2018
B.-2018
C.1009
D.-1009
【变式训练1】．（2019·吉林省实验高一期末（文））在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（
）
A.
B.数列是等比数列
C.
D.数列是公差为2的等差数列
【变式训练2】．（2019·浙江高一期末）已知数列满足：，.设为数列的前n项和，则=____；=_____.
【变式训练3】．（2019·浙江高二期末）设数列的前项和，若，则_______，__________．
四、迁移应用
1.（浙江省金华十校2019届高考模拟）等差数列，等比数列，满足，，则能取到的最小整数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·天津高三期中（理））等比数列中，，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3.（浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真）各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
或
4.已知的前项和为，且成等差数列，
，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（
）
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
5.若数列的通项公式是,则=（
）
A．15
B．12
C．－12
D．－15
6.已知，，，成等比数列，且．若，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
7.（2018届四川省双流中学9月月考）各项为正数的等比数列中，
与的等比中项为,则__________．
8．（2019·浙江高二期末）已知等比数列中，，则公比______；______．
9.【四川省成都市成都第七中学万达学校高2020届高三（上）第一次月考数学】
已知等差数列的前n项和为，公差为，且，公比为等比数列
中，
(1)求数列，
的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和。
10.【浙江省温州市2019—2020学年11月份普通高中高考适应性测试一模数学试题】
已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）求证：（）；突破2.4
等比数列
一、考情分析
二、经验分享
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：
或。
3．等比数列的前和：
①当时，；
②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
三、题型分析
(一)
等比数列的概念及其定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：＝q
例1．已知{an}是等比数列，,则公比q=（
）
A．
B．-2
C．2
D．
【答案】D
【解析】由，解得
【变式训练1】
已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】根据，，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到解得或-2（舍去），故得到公比为.
【变式训练2】
已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】根据，，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到解得或-2（舍去），故得到公比为.
故答案为:C.
【变式训练3】
（2017·湖南高二月考（文））在等比数列中，，且为和的等差中项，则为
A．9
B．27
C．54
D．81
【答案】B
【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，
若为和的等差中项，则有，变形可得，即，
解得或3；又，即，则，，
则，则有；故选：B．
(二)
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为：。推广形式：an=amqn－m.
注意：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
例2．设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．
【答案】，.
【解析】设等比数列的公比为，因为，，
所以，解得，所以，
因此，，.故答案为，.
【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.
【变式训练1】
（2017全国卷3理）设等比数列满足，
，则
___________．
【答案】
【解析】因为为等比数列，设公比为．，即，
显然，，得，即，代入式可得，
所以．
【变式训练2】
（2018·新疆焉耆县第二中学高二期末）在等比数列中，已知，，那么(
)
A.6
B.8
C.16
D.32
【答案】C
【解析】由题意，等比数列中，
，，则公比，
所以，故选C.
【变式训练3】．数列是等差数列，，，则（
）
A．16
B．-16
C．32
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，又因为，所以，
可得，故选D.
(三)
等比中项
若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且，即b=±.
例3．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】
已知在各项为正数的等比数列中，
与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（
）
A.
32
B.
16
C.
8
D.
4
【答案】A
【解析】设各项为正数的等比数列的公比为
∵与的等比中项为4[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴，∴
∴
当且仅当，即时取等号，此时，故选A
【变式训练1】
设正项等比数列,
,且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若,数列的前项和为,数列满足,
为数列的前项和,若恒成立,求的取值范围.
【解析】（1）设等比数列的公比为,由题意,得
解得,所以
（2）由（1）得,
∴,∴
若恒成立,则恒成立,则,所以.
(四)
等比数列的前n项和
等比数列前n项和公式Sn=
例4．若，4，为等差数列的连续三项，则（
）
A．1023
B．1024
C．2047
D．2048
【答案】C
【解析】因为，4，为等差数列的连续三项，所以，
，故本题选C.
【变式训练1】（2019·广东高考模拟（理））记为等差数列的前项和，公差，，，成等比数列，则（
）
A．-20
B．-18
C．-10
D．-8
【答案】D
【解析】等差数列的公差，，，成等比数列，
可得，即为，解得，
则.故选：D．
【变式训练2】（2019·湖北孝感高中高二月考）已知数列的前项和为，已知，，.
（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）若对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得，即，
所以，即.则是首项为，公比为2的等比数列，
.
（2）解：由(1)知
则
由，得，代入后解得恒成立．
因为函数在上单调递增，所以，解得，
而当时，，成立，由，故.
(五)
综合性质
例5．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（
）
A.2018
B.-2018
C.1009
D.-1009
【答案】D
【解析】各项均为正数的等比数列中，若,根据等比数列的性质得到
故答案为：D.
【变式训练1】．（2019·吉林省实验高一期末（文））在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（
）
A.
B.数列是等比数列
C.
D.数列是公差为2的等差数列
【答案】D
【解析】由等比数列的公比为整数，得到，
由等比数列的性质得出，解得，即，解得，
，则，数列是等比数列.
，，
所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，故选：D.
【变式训练2】．（2019·浙江高一期末）已知数列满足：，.设为数列的前n项和，则=____；=_____.
【答案】3
5047
【解析】由题意，又，∴数列是周期数列，周期为2．
∴．
故答案为3；5047．
【变式训练3】．（2019·浙江高二期末）设数列的前项和，若，则_______，__________．
【答案】4
85
【解析】由于，即，而则，解得；即，所以，故为等比数列，所以，所以，所以.
四、迁移应用
1.（浙江省金华十校2019届高考模拟）等差数列，等比数列，满足，，则能取到的最小整数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，
由，，可得，则，
可得能取到的最小整数是．故选：B．
2．（2019·天津高三期中（理））等比数列中，，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意易知数列的公比，数列的各项为正数，
由题意结合等比数列的性质有：，结合有，则.
故选：C.
3.（浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真）各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】设的公比为q（），根据题意可知，得，
解得，而，故选B.
4.已知的前项和为，且成等差数列，
，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（
）
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
【答案】C
【解析】，当时，
，由成等差数列可得，即，解得，故，
则，故，由得，即，则，即，故的最小值为.
5.若数列的通项公式是,则=（
）
A．15
B．12
C．－12
D．－15
【答案】A
【解析】(方法一)：分别求出前10项相加即可得出结论；
（方法二）：，故=．故选A.
6.已知，，，成等比数列，且．若，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】（方法一）
因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
（方法二）
因为，，
所以，则，
又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
7.（2018届四川省双流中学9月月考）各项为正数的等比数列中，
与的等比中项为,则__________．
【答案】
【解析】由题设，又因为，所以，应填答案.
8．（2019·浙江高二期末）已知等比数列中，，则公比______；______．
【答案】2
4
【解析】
本题正确结果：；
9.【四川省成都市成都第七中学万达学校高2020届高三（上）第一次月考数学】
已知等差数列的前n项和为，公差为，且，公比为等比数列
中，
(1)求数列，
的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和。
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意可得：等差数列，
因为等比数列
中，，，
所以.
=.
10.【浙江省温州市2019—2020学年11月份普通高中高考适应性测试一模数学试题】
已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）求证：（）；
【解析】
（I）记为的公差，则对任意，，
即为等比数列，公比.
由，，成等比数列，得，
即，解得，即.
所以，即；
（II）由（I），即证：.
下面用数学归纳法证明上述不等式.
①当时，不等式显然成立；
②假设当时，不等式成立，即，
则当时，.
因，
故.
于是，
即当时，不等式仍成立.
综合①②，得.
所以
5
