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突破2.5
等比数列的前n项和课时训练
【基础巩固】
1.在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )
A．12
B．14
C．15
D．16
3.(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A.
B.
C．10
D．12
(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
A.
B.
C．1
D．2
4．（浙江省镇海中学2018届高三上期中）等比数列的前项和为，若，
，则等于（
）
A.
-3
B.
5
C.
-31
D.
33
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N
，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
6．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
7.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N
)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【能力提升】
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(
)
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
10、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
11．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N
.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
【高考真题】
13．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于( )
A．
B．
C．
D．
14．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=( )
A．
B．
C．
D．
15．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．
16．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
17．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N
(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．
18．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
19．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）记
证明：
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突破2.5
等比数列的前n项和课时训练
【基础巩固】
1.在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【答案】：D
【解析】：(1)两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )
A．12
B．14
C．15
D．16
【答案】：D
3.(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A.
B.
C．10
D．12
(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
A.
B.
C．1
D．2
4．（浙江省镇海中学2018届高三上期中）等比数列的前项和为，若，
，则等于（
）
A.
-3
B.
5
C.
-31
D.
33
【答案】D
【解析】等比数列中，
，所以.
所以..故选D.
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N
，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
【答案】B
【解析】设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，
∴qm＝8.∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
6．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋，
当q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3；
当q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1.
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.
7.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
【答案】：20
【解析】(法一）设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.∴a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，∴d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
（法二）设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.
∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，∴a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N
)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N
)，
得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，∴－＝2(n≥2，n∈N
)，又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解：由(1)知，＝2n，故Sn＝，
an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N
)，
∴an＝
【能力提升】
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(
)
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
【答案】B
【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，解得a1=3．故选：B．
10、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
【解析】(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，∴＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝.
(2)解：由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.
解得λ＝－1.
11．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
a1＋2d＝2，3a1＋d＝，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，
解得a1＝1，d＝，
故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，
故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N
.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，整理得a4＝，
又a2＝，a3＝，所以a4＝.
(2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，
即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，
∴4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，即an＋2＝an＋1－an(n≥2)．
经检验，当n＝1时，上式成立．
∵＝＝＝为常数，且a2－a1＝1，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列．
(3)解：由(2)知，an＋1－an＝(n∈N
)，
等式两边同乘2n，得2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N
)．
又20a1＝1，
∴数列{2n－1an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴2n－1an＝2n－1，即an＝(n∈N
)．
则数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
【高考真题】
13．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，∴是等比数列
又，∴，∴，故选C．
14．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，，成等比数列，∴，即，
解得，所以．
15．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．
【答案】64
【解析】由且成等比数列，得，解得，故．
16．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
【答案】
【解析】通解
因为，所以当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
所以．
优解
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以．
17．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N
(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．
【解析】(Ⅰ)
-
（Ⅱ）
上式错位相减：
．
18．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以.
又因为，解得.所以，.
由，可得
①.
由，可得
②，
联立①②，解得，，由此可得.
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（Ⅱ）设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
得.
所以，数列的前项和为.
19．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）记
证明：
【答案】（I），；（II）证明见解析.
【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（II）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
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