突破2.5
等比数列的前n项和
一、考情分析
二、经验分享
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：
或。
3．等比数列的前和：
①当时，；
②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
三、题型分析
(一)
累乘法与累加法
例1．数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
【变式训练1】数列满足：，且，求．
【变式训练2】．数列中，若，，则______．
(二)
已知数列的前n项和，求通项公式
例2．已知数列的前项和，且满足，则（
）
.
.
.
.
【变式训练1】．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（
）
A．4
B．2
C．
D．
【变式训练2】．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________．
【变式训练3】．（2019·山东高考模拟（文））已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．
(三)
等比数列的前n项和的性质
例3．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（
）
A．16
B．8
C．4
D．2
【变式训练1】．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【变式训练2】．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（
）
A．
B．
C．3
D．8
【变式训练3】．（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设为数列的前项和，，，若，则＝(
)
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】．等比数列的前n项和为．已知，，则_________．
【变式训练5】.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
(四)
错位相减法
例4．已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【变式训练1】．（浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考）已知等比数列满足条件，，，数列满足，（，）
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前项和.
(五)
证明或判断等比数列
例5．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【变式训练1】．（2019·安徽省定远中学高考模拟（文））已知数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【变式训练2】．
【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期文科数学期中考试试题】
已知数列的前项和为，，
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前项和Tn.
四、迁移应用
1.已知数列满足，，则的前10项的和等于（
）
A.
B.
C.
D.
2．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（
）
A．
B．
C．1或
D．或
3.已知数列为等比数列，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4.设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，
则有（
）
A．
B．
C．
D．或
5．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）等比数列的前项和为，己知，，则（
）
A．7
B．-9
C．7或-9
D．
6．（2018·浙江高三专题练习）已知等比数列前项和满足，数列是递增数列，且，则
________，
的取值范围为________.
7．已知函数，则________；
8.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
9．设数列满足，，___________．
10.（2018·浙江高考模拟）设各项均为正数的等比数列中,若,则公比=___________，=
.
11.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a
n}的前n项和为{S
n}．若，，则q＝______________．
12．（2019·北京高三期末（文））已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_______；________.
13．设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
14．（2019·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.
（1）求、通项公式；
（2）设其前项和为，求.
15．（2019·上海市奉贤中学高一期末）已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
16.【2019届江西鹰潭一中高三理上学期月考】
设数列的前项和为，已知，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
17．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
5突破2.5
等比数列的前n项和
一、考情分析
二、经验分享
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：
或。
3．等比数列的前和：
①当时，；
②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
三、题型分析
(一)
累乘法与累加法
例1．数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
【答案】
【解析】由题意得：
所以．
【变式训练1】数列满足：，且，求．
【答案】．
【解析】，，，，
累加可得：，．
【变式训练2】．数列中，若，，则______．
【答案】
【解析】∵，，则，∴．故答案为．
(二)
已知数列的前n项和，求通项公式
例2．已知数列的前项和，且满足，则（
）
.
.
.
.
【答案】B
【解析】，
时，
，解得
．
时，
，解得
时，
，可得：
∴数列是等比数列，首项为3，公比为2．
，选B
【变式训练1】．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（
）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，，故当时，，
∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C．
【变式训练2】．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________．
【答案】
【解析】当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为：.
【变式训练3】．（2019·山东高考模拟（文））已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．
【答案】C
【解析】等比数列中，，前三项之和，
若，，，符合题意；
若，则，
解得，即公比的值为1或，故选C.
(三)
等比数列的前n项和的性质
例3．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（
）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
【变式训练1】．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
【变式训练2】．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（
）
A．
B．
C．3
D．8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A.
【变式训练3】．（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设为数列的前项和，，，若，则＝(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可得：当时，
两式作差得：，即，又，满足
是以为首项，为公比的等比数列，又
本题正确选项：
【变式训练4】．等比数列的前n项和为．已知，，则_________．
【答案】511
【解析】等比数列的前n项和为．所以
还是等比数列。
所以,解得：511
【点睛】考查等比数列，等比数列的前n项和。
【变式训练5】.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】（Ⅰ）；Ⅱ见解析
【解析】（Ⅰ），当时，，
得，又，
，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，，时，，
，
同理：，故：．
(四)
错位相减法
例4．已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（II），
，
两式相减得，
所以.所以.
【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．
【变式训练1】．（浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考）已知等比数列满足条件，，，数列满足，（，）
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设的通项公式为，，
由已知，，得，
由已知，即，解得，，
所以
的通项公式为.
因为，（，），
可得,，
累加可得.
（2）当时，，，
当时，①，
②，
由①-②得到，，，
综上，，.
③，
④，
由③-④得到，
所以.
(五)
证明或判断等比数列
例5．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
【变式训练1】．（2019·安徽省定远中学高考模拟（文））已知数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）证明：∵，∴.
又∵，∴.
又∵，
∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.
（2）由（1）求解知，，
∴，
.
【变式训练2】．
【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期文科数学期中考试试题】
已知数列的前项和为，，
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前项和Tn.
【解析】（1）时，
即
同除以得为等差数列，首项为1，公差为1
（2）由（1）知
，
四、迁移应用
1.已知数列满足，，则的前10项的和等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.
2．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（
）
A．
B．
C．1或
D．或
【答案】C
【解析】由题意知：，∴，即，
∴或．故选C．
3.已知数列为等比数列，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，
从而，
即所求表达式的值为．故选C．
4.设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，
则有（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点．
由等差数列性质出发，，，
因为，而为等比数列，联想到与有关，
所以利用均值不等式可得：；
5．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）等比数列的前项和为，己知，，则（
）
A．7
B．-9
C．7或-9
D．
【答案】C
【解析】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15,
代入数值得到q=-2或2，
当公比为2时，
解得，S3＝7；
当公比为-2时，解得，S3＝-9.
故答案为：C.
6．（2018·浙江高三专题练习）已知等比数列前项和满足，数列是递增数列，且，则
________，
的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为任意一个公比不为的等比数列前项和，而等比数列的前项和为，于是，又因为数列是递增数列，
恒成立，
恒成立，
，
的取值范围为，故答案为(1)
，(2)
.
7．已知函数，则________；
【答案】2018
【解析】∵
，
设，
①
则，
②
得，
∴．故答案为2018．
8.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为，由已知
，即解得，
所以．
9．设数列满足，，___________．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，，累加可得，
∵，，
∴．故答案为．
10.（2018·浙江高考模拟）设各项均为正数的等比数列中,若,则公比=___________，=
.
【答案】3,162
【解析】由题意可得：，代入得
等比数列各项均为正数
，解得，故
11.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a
n}的前n项和为{S
n}．若，，则q＝______________．
【答案】
【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．
即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)
12．（2019·北京高三期末（文））已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_______；________.
【答案】2
126
【解析】由题意，因为，解得，
又由，所以，解得，所以，解得，
所以，故答案为2,126.
13．设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）．
所以，数列的通项公式为．
（ii）
．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．
14．（2019·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.
（1）求、通项公式；
（2）设其前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，
由等比数列的性质可得，所以，解得，
，得，.
当时，；
当且时，.
也适合上式，所以，；
（2），
，
则，
上式下式，得
，
因此，.
15．（2019·上海市奉贤中学高一期末）已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时，
，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式.
综上，数列的通项公式为.
（2）因为，所以
（
）
由得，
两式作差得，
，
即
，故.
16.【2019届江西鹰潭一中高三理上学期月考】
设数列的前项和为，已知，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）利用，，推导出，由此能证明是等比数列；（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列的前项和．
【解析】（1）由，及，得，
整理，得，，又，
是以为首项，为公比的等比列（2）由（1），得，（）．
，①
，②
由②①，得
【方法指导】错位相减法求和的适用条件及关注点
(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(2)关注点：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
17．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列
（2）由（1），得，
∴，故，
∴
．
5
