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重难点
数列通项公式的求法课时训练
【基础巩固】
1.【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第天比第天多走（
）
A.
12里
B.
24里
C.
36里
D.
48里
2．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
3．【2018届湖南省长郡中学一模】已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
4．（2019·湖南师大附中高考模拟（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（
）
A．1
B．
C．
D．
5.已知数列满足，
，若，则数列的通项（
）
A.
B.
C.
D.
6．【2019北京市通州区三模】设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．
7．【2018届宁夏石嘴山市4月一模）】在正项等比数列中，若成等差数列，则__________．
8.
（1）数列满足：，且，求.
（2）已知数列满足：，且，求
9．（2019·四川高考模拟（文））已知为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【能力提升】
10.【2018届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，，，则（
）
A.
B.
-2
C.
2
D.
4
11.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=
.
12．（2019·天津高三期中（理））等比数列中，，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
13．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
14.（2019·四川高考模拟（文））已知数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【高考真题】
15．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则
A．
B．
C．
D．
16．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16
B．8
C．4
D．2
17．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
18．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
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重难点
数列通项公式的求法课时训练
【基础巩固】
1.【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第天比第天多走（
）
A.
12里
B.
24里
C.
36里
D.
48里
【答案】C
【解析】设第天走了里，其中．由题意可知成等比数列，公比，且，解得，所以，，所以，故第天比第天多走里．故选C．
2．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得：
，
，结合可得：
，
结合等比数列的性质可得：
，
即：
.
本题选择B选项.
3．【2018届湖南省长郡中学一模】已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的定义，只要计算出公比即可.
详解：∵成等差数列，
∴，即，解得（－1舍去），
∴，
故选D.
点睛：正整数满足，若数列是等差数列，则，若数列是等比数列，则，时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.
4．（2019·湖南师大附中高考模拟（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
是等比数列
是等差数列
本题正确选项：
.故.
5.已知数列满足，
，若，则数列的通项（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,
,
,
则
,数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，利用叠加法，
，
，则.选B.
6．【2019北京市通州区三模】设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．
【答案】，.
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，所以，
因此，，.
故答案为，.
7．【2018届宁夏石嘴山市4月一模）】在正项等比数列中，若成等差数列，则__________．
【答案】.
【解析】由于成等差数列,所以,即,,解得
8.
（1）数列满足：，且，求.
（2）已知数列满足：，且，求
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
累加可得：
（2）
9．（2019·四川高考模拟（文））已知为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）∵，
∴当时，，故，得.
当时，，
故，
∴当时，，
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
∴
，
，
.
【能力提升】
10.【2018届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，，，则（
）
A.
B.
-2
C.
2
D.
4
【答案】C
【解析】分析：利用等比数列下标和性质求等比数列的特殊项.
详解：由，，可得，
∴，又同号，
∴
故选：C
点睛：等比数列中，若，则；
等差数列中，若，则.
11.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=
.
【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
12．（2019·天津高三期中（理））等比数列中，，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意易知数列的公比，数列的各项为正数，
由题意结合等比数列的性质有：，结合有，
则.
故选：C.
13．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅰ）.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
因为，所以，解得.
所以.
由及等比中项的性质，得，
又显然必与同号，所以.
所以.又公比为正数，解得.
所以.
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，
则
①.
②.
①②，得
.
所以.
14.（2019·四川高考模拟（文））已知数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ），
当时，，
两式相减，得，即.
∴，所以数列为等比数列.
（Ⅱ）由，得.由（Ⅰ）知，数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
∴，
∴，
∴.
【高考真题】
15．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
16．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
17．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
18．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）．
所以，数列的通项公式为．
（ii）
．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．
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