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数列通项公式的求法重难点考点与题型突破
一、考情分析
二、题型分析
(一)
已知等差数列与等比数列，求通项公式
例1.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列.求数列的通项公式；
【变式训练1】．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数
列，且公比大于0，,，求和的通项公式；
【变式训练2】．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已
知，，，．求数列，的通项公式；
(二)
累加法与累乘法，求通项公式
例2．设数列满足，求数列的通项公式；
【变式训练1】．数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
【变式训练2】．.已知数列满足，
，若，则数列的通项（
）
A.
B.
C.
D.
(三)
已知数列的前n项和，求通项公式
例3．已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．
求；
【变式训练1】．若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.
【变式训练2】．数列满足：，．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和；
(四)
构造等比数列，求通项公式（待定系数法）
例4.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N
)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的
取值范围．[来源:学
科
网]
【变式训练1】．已知数列中，
且，则__________．
【变式训练2】．已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
四、迁移应用
1．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
2.在数列中,
,,则该数列的通项公式=
．
3.设是首项为1的正项数列,且,则
.
4.已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
5.已知数列满足,,,,则
．
6.设是等差数列，是等比数列.已知.，求和的通项公式；
7.已知数列的前项和满足：（为常数,且,）．
（1）求的通项公式；
（2）设,若数列为等比数列,求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下,设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围．
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数列通项公式的求法重难点考点与题型突破
一、考情分析
二、题型分析
(一)
已知等差数列与等比数列，求通项公式
例1.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列.求数列的通项公式；
【答案】，
【解析】：设数列的公差为d，由题意得
，解得．从而．
由成等比数列得．
解得．所以．
【变式训练1】．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数
列，且公比大于0，,，求和的通项公式；
【答案】，
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以.
又因为，解得.所以，.
由，可得
①.
由，可得
②，
联立①②，解得，，由此可得.
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
【变式训练2】．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已
知，，，．求数列，的通项公式；
【答案】
【解析】由题意有，
，即．
解得
或，故或．
(二)
累加法与累乘法，求通项公式
例2．设数列满足，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由已知，当n≥1时，
．而
所以数列{}的通项公式为．
【变式训练1】．数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
【答案】．
【解析】由题意得：
所以．
【变式训练2】．.已知数列满足，
，若，则数列的通项（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
(三)
已知数列的前n项和，求通项公式
例3．已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．
求；
【答案】．
【解析】（Ⅰ）由=，得
当=1时，；
当2时，，.
由，得，.
【变式训练1】．若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.
【答案】．=.
【解析】当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，
∴=.
【变式训练2】．数列满足：，．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和；
【答案】．（1），（2）
【解析】（1）由题意知：
当时，；
当时，；
，
（2）当时，；
当时，由知
两式相减得，
此时．
经检验知也满足．故数列是以1为首项，为公比的公比数列，
故．
(四)
构造等比数列，求通项公式（待定系数法）
例4.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N
)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的
取值范围．[来源:学
科
网]
【答案】(Ⅰ)
；（Ⅱ）.
（Ⅱ）因为,
所以,
依题意得：
【变式训练1】．已知数列中，
且，则__________．
【答案】[来源:学科网]
【解析】
【变式训练2】．已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
【分析】变形为,构造新数列求解.
【答案】
【解析】由得：
，变形得：
，所以是以2为公比的等比数列，所以
，所以.
【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性.
易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.
四、迁移应用
1．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
【解析】
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以．
2.在数列中,
,,则该数列的通项公式=
．
【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.
【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填．
【点评】当,且）满足一定条件时,可用…来求通项,这种方法通常叫累加法.
本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.
3.设是首项为1的正项数列,且,则
.
【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得与的关系式,再用累乘法求解.
4.已知数列满足：
，
，（
），则数列的通项公式为__________．
【分析】变形为,构造新数列求解.
【答案】
【解析】由得：
，变形得：
，所以是以2为公比的等比数列，所以
，所以.
【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性.
易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.
5.已知数列满足,,,,则
．
【答案】．
【解析】且,,又,,是首项为,公差为的等差数列,,,．故应填．
6.设是等差数列，是等比数列.已知.，求和的通项公式；
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意得解得
故.
所以，的通项公式为的通项公式为.
7.已知数列的前项和满足：（为常数,且,）．
（1）求的通项公式；
（2）设,若数列为等比数列,求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下,设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）当时,,得．
当时,由,即,①
得,②
①②,得,即,∴（）,
∴是等比数列,且公比是,∴．
（2）由（1）知,,即,
若数列为等比数列,则有,
而,,,
故,解得,
再将代入,得,
由,知为等比数列,∴．
（3）由,知,∴,
∴,
由不等式恒成立,得恒成立,
设,由,
∴当时,,当时,,
而,,∴,
∴,∴．
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2
页
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