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重难点04
数列前n项和课时训练
【基础巩固】
1.等差数列满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】设公差为，则，，所以
.故选B.
2.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】依题意，因为为一个确定的常数，所以为一个确定的常数，又因为，所以为一个确定的常数.故选B.
3.已知函数，且，则等于
（
）
A.
－2013
B.
－2014
C.
2013
D.
2014
【答案】.D
【解析】当为奇数时，，当为偶数时
，
所以，，，，…，故
，所以，故选D.
4.已知等比数列的首项，前项和为，若，则数列的最大项等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】由已知得，，
所以，由函数的图像得到，当时，数列的最大项等于15．故选D.
5．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于
A．66
B．132
C．66
D．
32
【答案】D
【解析】因为，是方程的两根，
所以，
又，所以，
，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
6.已知数列满足，，则的值是
.
【答案】.
【解析】由于，则数列是公比为的等比数列.又，可以推出.故.
7.已知等比数列的各项均为正数，且，则
.
【答案】.
【解析】由得，，所以
.
8．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，
．
（I）求数列与的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由，，
则，
设等差数列的公差为，则，所以.
所以.
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以；
（II），
所以的前项和为
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.
【能力提升】
9.设有四个数的数列，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为，其公差非零，对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，则的取值范围是
.
【答案】.
【解析】依题意，得，，得，又，
所以，即.因为对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，所以，得.又检验知时不符合题意.所以，的取值范围是的取值范围是.
10．在数列中，，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为
所以，
,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.
11.已知数列满足，，其中为的前n项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）.由，，当时，可得.
当时，，两式相减得：，即，且.
故是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以
（2）.由题意，所以.
所以.
12.已知数列的前项为.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）详见解析（2）.
【解析】
（1）当时，，当时，Sn﹣1＝3an﹣1﹣，
∴，
即，
故，
所以，
故是为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，故，
令数列，的前和为，则，因为，
，
，
则，
即，
故.
13.已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点．数列是等比数列，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和．
【答案】(1)
,;(2)见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知.
当时，；
当时，
.
显然，当时，上式也成立，所以.
故，.
所以等比数列的公比.
故.
（Ⅱ）数列的前项和.
数列的前项和记为.
当为奇数时，
.
当为偶数时，
.
所以数列的前项和
.
14．已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）10
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.
试题解析：（1）由知：，
两式相减得:
，
即，又数列为单调递增数列，，∴，
∴，
又当时，，即，解得或
(舍），
符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴.
（2），
∴，
又
∵，即，解得，
又，所以的最小值为10.
15．已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）时，，又，所以，
当时，
，
作差整理得：，
因为，故，所以，
故数列为等差数列，所以．
（2）由（1）知，所以，
从而
．
所以，故的最小值为．
【高考真题】
16.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．
B．
C．3
D．8
【答案】A
【解析】[来源:Zxxk.Com]
17．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
18．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
19．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，S5=?10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】
0，.
【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查.
【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，
则的值是_____.
【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
21.（2019天津理19）设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意得解得
故.
所以，的通项公式为的通项公式为.
（Ⅱ）（i）.
所以，数列的通项公式为.
（ii）
.
22．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】（（Ⅰ）设的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
（Ⅱ）记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
23．（2015广东）数列满足：，．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和；
（3）令，
证明：数列的前项和满足．
【解析】（（1）由题意知：
当时，；
当时，；
（2）当时，；
当时，由知
两式相减得，
此时．
经检验知也满足．故数列是以1为首项，为公比的公比数列，
故．
（3）由（1）（2）知，．
当时，
．
当时，，成立；
当时，
．
构造函数
，即
，则，
从而可得，，，，
将以上个式子同向相加即得
，
故
综上可知，．
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数列前n项和课时训练
【基础巩固】
1.等差数列满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是
（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，且，则等于
（
）
A.
－2013
B.
－2014
C.
2013
D.
2014
4.已知等比数列的首项，前项和为，若，则数列的最大项等于（
）
A.
B.
C.
D.
5．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于
A．66
B．132
C．66
D．
32
6.已知数列满足，，则的值是
.
7.已知等比数列的各项均为正数，且，则
.
8．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，
．
（I）求数列与的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【能力提升】
9.设有四个数的数列，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为，其公差非零，对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，则的取值范围是
.
10．在数列中，，则的值为______．
11.已知数列满足，，其中为的前n项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
.
12.已知数列的前项为.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和为.
13.已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点．数列是等比数列，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和．
14．已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.
15．已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；
【高考真题】
16.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．
B．
C．3
D．8
17．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
18．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
19．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，S5=?10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，
则的值是_____.
21.（2019天津理19）设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
22．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前项和．
23．（2015广东）数列满足：，．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和；
（3）令，
证明：数列的前项和满足．
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