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数列前n项和重难点考点与题型突破
一、考情分析
二、题型分析
(一)
已知等差与等比数列，求数列的前n项和
例1．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【解析】(1)设的公差为d，由题意得．
由得d=2．所以的通项公式为．
(2)由(1)得．
所以当时，取得最小值，最小值为?16．
【变式训练1】．（2015四川）设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求得成立的的最小值。
【解析】（1）由已知有，
即，
从而．
又因为成等差数列，即．
所以，解得．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．
（2）由（1）得．
所以．
由，得，即．
因为，
所以．
于是，使成立的n的最小值为10．
(二)
裂项相消求和
例2．（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则
．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴，所以，
所以．
【变式训练1】．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为
=
=.
【变式训练2】．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令=求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
当为偶数时
．
(三)
分组求和
例3.已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列前n项和.
【思路引导】
（1）根据与的关系即可求出；
（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；
（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．
解：（1）因为，当时，；
当时，．
故；
（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，，
对任意正整数，.可得，且，
由假设可得，即，
则，可得，可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；
（3）由（2）可得，则，
则前n项和
当n为偶数时，
当n为奇数时，
则（）．
【变式训练1】．已知数列的前n项和为，.
（1）求及数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和.
【思路引导】
（1）利用临差法将递推关系转化成，同时验证，从而证明数列为等比数列，再利用通项公式求得；
（2）利用对数运算法则得，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得。
解：（1）因为，所以，因为，
所以，所以，
整理得，
又因为，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
（2），
，
.
(四)
错位相减求和
例4．（2016年山东高考）已知数列
的前n项和，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
求数列的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，
所以，当时，
，
又对也成立，所以．
又因为是等差数列，设公差为，则．
当时，；当时，，
解得，所以数列的通项公式为．
(Ⅱ)由，
于是，
两边同乘以２，得，
两式相减，得
．
【变式训练1】．
在等比数列中，公比为，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）因为公比为的等比数列中，
，
所以，当且仅当，，时成立.
此时公比，，所以.
（Ⅱ）因为，
所以
，
∴，
∴
.故数列的前项和.
三、迁移应用
1．已知数列满足，则的前10项和等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵，∴是等比数列
又，∴，∴，故选C．
2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)由是，的等差中项得，
所以，
解得．
由得，
因为，所以．
(2)设，数列前项和为．
由，解得．
由(1)可知，
所以，
故，，
．
设，，
所以，
因此，，
又，所以．
3．已知等差数列的前项和满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）设的公差为，则=．
由已知可得
（2）由（Ⅰ）知
从而数列
.
4.
已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和.
【思路引导】
(1)由列出方程求出q，即可求得的通项公式，由，利用等差数列的性质可求出，从而求得d，最后得到等差数列的通项公式；(2)由可得，将和的通项公式代入上式求出的通项公式，用错位相减法即可求出.
解：（1）设数列的公差为，的公比为，
∵，∴，得，（舍），
因为，所以
.∵，∴，解得，
又，∴，∴.
（2）由（1）得，.
∵，∴，∴.
，①
①式等号两边同乘以，得，②
①-②得
.∴.
5.
已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
【思路引导】
（1）首先设等差数列的首项，公差为，根据条件建立关于的方程组，再求数列，的通项公式；
（2）由（1）可知，数列是等比数列，按等比数列求和，数列按照裂项相消法求和.
解:(1)设数列的公差为，由题意知:
①
又因为成等比数列，所以，，
，又因为，所以.
②由①②得，
所以，，
，，
.
(2)因为，
所以
所以数列的前项和.
6.
已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【思路引导】
（1）利用等差数列公式计算得到答案.
（2）裂项得到，代入数据计算得到答案.
解：
(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.
,解得..
(2)
前项和
.
7.
【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】
已知数列满足，，，2，.
求数列的通项；
设，求．
【思路引导】
利用数列的递推关系式推出，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式；
化简，然后求解数列的和即可．
解：，，2，，
，，3，
得，，
当n为奇数，，当n为偶数，
所以；
，
．
8.
【2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测】
记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项之和.
【思路引导】
（1）由题可得，，即可求出和，结合为递增数列，可求得通项公式；
（2）结合（1）可得到，利用裂项相消法可求出前项之和.
解：
（1）设等比数列的公比为，则，解得或，
因为为递增数列，所以只有符合题意，故；
（2）由题意，，
∴
.
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一、考情分析
二、题型分析
(一)
已知等差与等比数列，求数列的前n项和
例1．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【变式训练1】．（2015四川）设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求得成立的的最小值。
(二)
裂项相消求和
例2．（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则
．
【变式训练1】．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【变式训练2】．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令=求数列的前项和．
(三)
分组求和
例3.已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列前n项和.
【变式训练1】．已知数列的前n项和为，.
（1）求及数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和.
(四)
错位相减求和
例4．（2016年山东高考）已知数列
的前n项和，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
求数列的前n项和Tn.
【变式训练1】．
在等比数列中，公比为，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
三、迁移应用
1．已知数列满足，则的前10项和等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
3．已知等差数列的前项和满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
、
4.
已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和.
5.
已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
6.
已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
7.
【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】
已知数列满足，，，2，.
求数列的通项；
设，求．
8.
【2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测】
记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项之和.
.
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