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突破3.1及3.2
一元二次不等式及其解法重难点突破
考情分析
二、经验分享
【知识点1
一元二次不等式的概念及形式】
(1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2).形式：
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
【知识点2
一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】
(1).一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
(2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；
若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．
(3).三个“二次”之间的关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1＝x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|x
x2}
{x|x≠－}
R
f(x)<0
{x|x1?
?
【知识点3
分式不等式的解法】
①>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？
②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
解法：等价转化法解分式不等式
>0?f(x)g(x)>0，<0?f(x)·g(x)<0.
≥0?
?f(x)·g(x)>0或.
≤0??f(x)·g(x)<0或
【知识点4、简单的高次不等式的解法】
(1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,1(2)考查函数y＝(x－1)2(x＋3)，当x<－3，－31时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
三、题型分析
(一)
一元二次不等式的解法
例1．（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C．?
D.
（2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
（3）．x2－5x＋6>0；
（4）．－x2＋3x－5>0.
【变式训练1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
(二)
含有参数的一元二次不等式的解法
例2．（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3（2）已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________.
（3）解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
【变式训练1】．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】关于的不等式()的解集为,且,则
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
(三)
含有参数的分式不等式的解法
例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______.
(四)二次不等式综合问题的
例4．【四川省宜宾市2017-2018学年高一上学期期末】当时,不等式恒成立，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
例5．【江苏省连云港市2018~2019学年度高一第二学期期末】设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式（R）．
【变式训练1】．【山东省泰安市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考】在上定义运算：
，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
(五)
实际应用问题
例6．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是________．
【变式训练1】．【2016届上海市闸北区高三上学期期末】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
四、迁移应用
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
3．若0A.
B.
C.
D.
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－35．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________．
6．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________.
7．不等式2x2－x＜4的解集为______.
8．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
9．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
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一元二次不等式及其解法重难点突破
考情分析
二、经验分享
【知识点1
一元二次不等式的概念及形式】
(1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2).形式：
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
【知识点2
一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】
(1).一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
(2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；
若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．
(3).三个“二次”之间的关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1＝x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
f(x)<0
{x|x1?
?
【知识点3
分式不等式的解法】
①>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？
②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
解法：等价转化法解分式不等式
>0?f(x)g(x)>0，<0?f(x)·g(x)<0.
≥0?
?f(x)·g(x)>0或.
≤0??f(x)·g(x)<0或
【知识点4、简单的高次不等式的解法】
(1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,1(2)考查函数y＝(x－1)2(x＋3)，当x<－3，－31时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
三、题型分析
(一)
一元二次不等式的解法
例1．（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C．?
D.
【答案】D
【解析】[(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
（2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【答案】(－4,1)
【解析】[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4（3）．x2－5x＋6>0；
【答案】{x|x>3或x<2}．
【解析】方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
（4）．－x2＋3x－5>0.
【答案】?
【解析】原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?.
【变式训练1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
【解析】
（1）因为，所以原不等式等价于，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为,配方得
,
又,所以,解得，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式无解，即原不等式的解集为.
(二)
含有参数的一元二次不等式的解法
例2．（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3【答案】C
【解析】 [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2（2）已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________.
【答案】(－∞，1]
【解析】[A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|xB?A，如图，则a≤1.
]
（3）解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
【答案】原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠a＋1.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，解集为{x|x≠a＋1}，
当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x【变式训练1】．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】关于的不等式()的解集为,且,则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，即，
又，所以，解得．
【变式训练2】．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
【答案】原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.
(三)
含有参数的分式不等式的解法
例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D．
【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______.
【答案】或
【解析】
不等式等价为且，
∴或，
∴不等式的解集是或
故答案为：或
(四)二次不等式综合问题的
例4．【四川省宜宾市2017-2018学年高一上学期期末】当时,不等式恒成立，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立，
则，整理得，
解得或，所以实数的取值范围是，故选A.
例5．【江苏省连云港市2018~2019学年度高一第二学期期末】设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式（R）．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，即，解得．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为．
【变式训练1】．【山东省泰安市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考】在上定义运算：
，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
对于任意的实数恒成立,
,即恒成立,
,
故选：C
(五)
实际应用问题
例6．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是________．
【答案】
【解析】
由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为（20t）万亩，
则税收收入为（20t）×24000×t%．
由题意（20t）×24000×t%≥9000，
整理得t2﹣8t+15≤0，解得3≤t≤5．
∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．
∴t的范围是[3，5]．
故答案为:[3,5]
【变式训练1】．【2016届上海市闸北区高三上学期期末】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【答案】（1），定义域（2）先在DE上截取线段，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大.
【解析】
（1）依据题意并结合图形,可知：
①当点落在线段上
即时,；
②当点在线段上,
即时,由,
得.
于是.
所以,
定义域.
（2）由（1）知,当时,；
当时,
当且仅当时,等号成立.
因此,y的最大值为.
答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为
四、迁移应用
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
【答案】C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴解得
∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
【答案】B [(2x＋1)(x－3)<0，∴－且x≤5，则x＝1,2.]
3．若0A.
B.
C.
D.
【答案】D [t∈(0,1)时，t<，∴解集为.]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3【答案】C [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－25．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________．
【答案】(－3,1)∪(3，＋∞) [f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，
解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，
解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．]
6．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________.
【答案】(－∞，1] [A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x若B?A，如图，则a≤1.
]
7．不等式2x2－x＜4的解集为______.
【答案】{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4，
∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]
8．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
【答案】(－7,3) [当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)．又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)，所以－59．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
【答案】原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.
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