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突破3.3
二元一次不等式组与简单线性规划问题重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
重点一、二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合．
重点二、平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域不包括边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取原点(0,0)作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．
重点三、线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
关于x，y的二元一次不等式
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
重点四、线性规划常用来解决下列问题：
(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大．
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调运、产品安排、下料等问题．
重点五、最优解常转化为由目标函数得到的直线到原点距离的最值来考虑．(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小))
三、题型分析
(一)
二元一次不等式表示的平面区域
例1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
【变式训练1】．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【变式训练2】．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
(二)
二元一次不等式组表示的平面区域
例2．不等式组，表示的平面区域为( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．画出下列不等式（组）表示的平面区域：
（1）.
（2）.
（3）
（4）.
(三)
求线性目标函数的最值问题
例3．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（
）
A．－15
B．－9
C．1
D．9
【变式训练1】．设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（ ）
A．，
B．2，
C．4，34
D．2，34
【变式训练2】．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝( )
A．2
B．1
C．－2
D．3
【变式训练3】．[2019·云南红河州统一检测]设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为2，则＋的最小值为( )
A．25
B．19
C．13
D．5
(四)
简单的线性规划中的整数解
例4．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【变式训练1】．已知x，y满足约束条件若z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )
A．3
B.
C.
D．1
来源:学科网ZXXK
(五)
已知目标函数的最值求参数
例5．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数（
）
A．
B．
C．1
D．2
四、迁移应用
1．已知实数满足，则的最大值是（
）
A．
B．
C．3
D．5
2．已知满足约束条件且不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是( )
A.
B.[来源:学+科+网]
C．32
D．64
4．[2018·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
5．[2019·郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
5、设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（
）
（A）
（B）6
（C）10
（D）17
6、若，满足，则的最大值为（
）
A.0
B.3
C.4
D.5
7.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元．
8.若x，y满足约束条件则的最大值为________.
9.如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A.16
B.18
C.25
D.
10.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A.3
B.2
C.－2
D.－3
11.设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A.
B.6
C.
D.4
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精品试卷·第
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（共
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突破3.3
二元一次不等式组与简单线性规划问题重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
重点一、二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合．
重点二、平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域不包括边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取原点(0,0)作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．
重点三、线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
关于x，y的二元一次不等式
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
重点四、线性规划常用来解决下列问题：
(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大．
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调运、产品安排、下料等问题．
重点五、最优解常转化为由目标函数得到的直线到原点距离的最值来考虑．(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小))
三、题型分析
(一)
二元一次不等式表示的平面区域
例1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
【答案】C
【解析】由y·(x＋y－2)≥0，得或所以不等式y·(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项，故选C.
【变式训练1】．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7
【变式训练2】．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【答案】9
【解析】由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值?斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴
zmax＝5＋4＝9.
(二)
二元一次不等式组表示的平面区域
例2．不等式组，表示的平面区域为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式表示的平面区域为直线的左下方部分，不等式所表示的平面区域为直线的左上方部分，所以不等式组所表示的平面区域为选项B所表示的区域，故选B.
【变式训练1】．画出下列不等式（组）表示的平面区域：
（1）.
（2）.
（3）
（4）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析.
【解析】
（1）画出平面区域如下图所示：
（2）画出平面区域如下图所示：
（3）画出平面区域如下图所示：
（4）原不等式等价于或.故画出平面区域如下图所示：
考点点睛：1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判断．
(三)
求线性目标函数的最值问题
例3．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（
）
A．－15
B．－9
C．1
D．9
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的可行域，
结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值
zmin＝－12－3＝－15.
故选：A
【变式训练1】．设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（ ）
A．，
B．2，
C．4，34
D．2，34
【答案】D
【解析】
由，满足约束条件表示的可行域如图，
由，解得．
的几何意义是点到坐标原点的距离的平方，
所以的最大值为，
的最小值为：原点到直线的距离．故选：D．
【变式训练2】．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝( )
A．2
B．1
C．－2
D．3
【答案】D
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，若k≤0，则z的最小值不可能为0，若k>0，当直线y＝kx－z过点(1,3)时，z取最小值0，得k＝3，此时直线y＝kx－z过点(4,0)时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.
【变式训练3】．[2019·云南红河州统一检测]设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为2，则＋的最小值为( )
A．25
B．19
C．13
D．5
【答案】A
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值2，即2a＋3b＝1，所以(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为25，故选A.
(四)
简单的线性规划中的整数解
例4．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【答案】216
000
【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2
100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
【变式训练1】．已知x，y满足约束条件若z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )
A．3
B.
C.
D．1
【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,4)，B(λ－3，λ)．由z＝x＋4y，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，并平移，知当该直线经过点A时，z取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B时，z取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.
[来源:学科网ZXXK]
(五)
已知目标函数的最值求参数
例5．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
不等式组表示的平面区域如图：
由图可知，，解得x=y=，
即A（，），
则a＜+=
实数a的取值范围是a＜．
故选：D．
【变式训练1】．若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9，
显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．
联立方程组解得
即点A（4，5）在直线x-my+1=0上，
∴4-5m+1=0，得m=1．
故答案为1．
四、迁移应用
1．已知实数满足，则的最大值是（
）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】C
【解析】
由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示，
表示三角形阴影部分区域（含边界），
设直线，平移直线时，目标函数取得最大值，
又由，解得，
此时目标函数的最大值为.
故选C.
2．已知满足约束条件且不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，可行域内的点恒满足，
则不等式即恒成立，
即，令可知：恒成立，即恒成立.
其中表示坐标原点与可行域内点连线的斜率，如图所示，在点A和点C处目标函数取得最值，据此可知：.
结合对勾函数的性质可知，当时，取得最小值，此时，即取得最大值，最大值为：，
结合恒成立的条件可知：实数的取值范围为.
.
3．已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是( )
A.
B.[来源:学+科+网]
C．32
D．64
【答案】C
【解析】解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A(1,3)时，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32，故选C.
解法二 由题易知z＝x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.
4．[2018·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
【答案】6
【解析】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋
过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
5．[2019·郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
【答案】
【解析】区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．
由方程组解得A(1,0)．
由方程组解得B(2,3)．
所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.
5、设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（
）
（A）
（B）6
（C）10
（D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
6、若，满足，则的最大值为（
）
A.0
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
7.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时,
取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
8.若x，y满足约束条件则的最大值为________.
【答案】 3
9.如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A.16
B.18
C.25
D.
【答案】 B
10.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A.3
B.2
C.－2
D.－3
【答案】 B
【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(1，1).
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
11.设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
12.若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A.
B.6
C.
D.4
【答案】 C
【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值，即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.
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