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突破3.4
基本不等式课时训练
【基础巩固】
1．，，且，则的最小值为（
）
A．
B．16
C．3
D．
【答案】A
【解析】
，，
当且仅当，即时取等号
故选：
2．已知正数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选．
3．若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由圆的性质可知，直线，
是圆的直径所在的直线方程，
圆的标准方程为：
圆心在直线上，
，即，
，
的最小值为，故选D.
4．若正实数满足，则（
）
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】C
【解析】
因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．
5．若正数a，b满足，则的最小值为
A．
B．
C．8
D．9
【答案】D
【解析】
，，且，
则，
当且仅当即，时取等号．
故选D．
6．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】
将不等式化为，只需当时，即可，
由
，
当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9.
故选：C
7．函数的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
∵，
∴．
∴
，当且仅当，即时等号成立．
∴函数的最小值为4．
答案：4
8.已知，且，则的最大值为
【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.
答案:
9．设，则，，，，，按从小到大顺序排列是______．
【答案】
【解析】
由，可得，即，
由基本不等式可得，即，
由基本不等式可得，
，
由，可得.
所以答案为.
10．设是等差数列．下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】．C
【解析】若是递减的等差数列，则选项都不一定正确．若为公差为0的等差数列，则选项D
不正确．对于C选项，由条件可知为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得，由基
本不等式得，所以C正确．
【能力提升】
11．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵，
当且仅当时等号成立，
∴，即，
∴.
故选：D
12．若正数a,b满足a+b=2,则
的最小值是(
)
A．1
B．
C．9
D．16
【答案】B
【解析】
∵，∴，
又∵，，
∴
，
当且仅当，
即，时取等号,
的最小值是,故选B.
13．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为，所以.
所以
.
当且仅当，即，时等号成立，
若使得恒成立
则需，即，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D
14．对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值
为
．
【答案】．－1
【解析】设最大，则必须同号，
因为，
故有，，当且仅当时取等号，此时，
所以=．
【高考真题】
15．（2015陕西）设，，若，，，则下列关系式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．B
【解析】∵，∴，又在上单调递增，
故，即，
∵，∴．
16．（2013福建）若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，
所以，当且仅当，即时取等号．
17．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】．B
【解析】由，得．
所以，当且仅当，
即时取等号此时，.
，故选B.
18．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】．C
【解析】由得，
，
当且仅当即时，有最小值1，
将代入原式得，
所以，
当时有最大值2．故选C．
19.（2019天津理13）设，则的最小值为
.
【答案】．
【解析】．
，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）.
故的最小值为.
20．(2018天津)已知，且，则的最小值为
．
【答案】．
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
21．(2017北京)已知，，且，则的取值范围是_______．
【答案】．
【解析】由题意，，且，又时，
，时，，当时，，所以取值范围为
．
22．（2013天津）设a
+
b
=
2，
b>0，
则当a
=
时，
取得最小值.
【答案】．－2
【解析】∵=
当且仅当，即时取等号
故取得最小值时，．
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基本不等式课时训练
【基础巩固】
1．，，且，则的最小值为（
）
A．
B．16
C．3
D．
2．已知正数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若正实数满足，则（
）
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
5．若正数a，b满足，则的最小值为
A．
B．
C．8
D．9
6．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
7．函数的最小值为__________．
8.已知，且，则的最大值为
9．设，则，，，，，按从小到大顺序排列是______．
10．设是等差数列．下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【能力提升】
11．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若正数a,b满足a+b=2,则
的最小值是(
)
A．1
B．
C．9
D．16
13．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14．对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值
为
．
【高考真题】
15．（2015陕西）设，，若，，，则下列关系式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2013福建）若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
18．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．
C．2
D．
19.（2019天津理13）设，则的最小值为
.
20．(2018天津)已知，且，则的最小值为
．
21．(2017北京)已知，，且，则的取值范围是_______．
22．（2013天津）设a
+
b
=
2，
b>0，
则当a
=
时，
取得最小值.
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