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突破3.4
基本不等式重难点突破
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练1】.已知，则的最小值是（
）
A．2
B．
C．4
D．5
【变式训练2】.的最小值为
。
【考点点睛】
1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.（1）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
（2）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为
．
【变式训练1】.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
【考点点睛】
1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．
2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形．
3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．已知，，，求证：.
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【变式训练1】如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设，，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是
．
【变式训练1】已知为正实数,则的最小值为（
）
【变式训练2】已知正实数满足,则的最小值为___________．
四、迁移应用
1．若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
3．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（
）
A．
B．=
C．<<
D．=
4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知，且，则的最小值为
．
6.若，，则的最小值为___________．
7．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要
使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
8．已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是
．
9．已知函数在时取得最小值，则__．
10．若实数满足，则的最大值是____．
11．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是
(写出所有正确命题
的编号)．
①；
②；
③；
④；
⑤
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精品试卷·第
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（共
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基本不等式重难点突破
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】
【解析】
，当且仅当时取等号.
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。
【变式训练1】.已知，则的最小值是（
）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】C
【解析】选C.
因为当且仅当，
且，即时，取“=”号。w.w.
【变式训练2】.的最小值为
。
【答案】3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。
【考点点睛】
1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.（1）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
【答案】B
【解析】选B.
因为，所以，
，
当且仅当即时“=”成立，故选择B.
（2）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为
．
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
（方法一）：，
（当且仅当m=n=时等号成立）.（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.
【变式训练1】.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【答案】8
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
【答案】．
【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；
【解析一】
【考点点睛】
1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．
2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形．
3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．已知，，，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】
，，，
，，均大于0，
又①，②，③，
当且仅当时，等号成立，
①②③三式相加得，
.
故不等式得证.
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|或}．（2）（，8）．
【解析】
解：（1）当m=5时，，
或或
或或或或
或，所以不等式的解集为{x|或}；
（2）由条件，有当时，不等式，
即恒成立，
令，
则因为，
且，
所以，
所以m<8，即实数m的取值范围为（，8）．
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a
m,则=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
【变式训练1】如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设，，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），且.
【解析】
（Ⅰ）在中，①，
又，即，即②，
将②代入①，得，
又，若，则不符合题意，所以，
因此；
（Ⅱ）如果是水管，
因为，
当且仅当，即时“＝”成立，
故，且.
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是
．
【分析】先求左边式子的最小值
【解析】∵,,且,∴,当且仅当,即时取等号,又,∴,,∴,要使恒成立,只需,即,解得,故答案为.
【变式训练1】已知为正实数,则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】,当且仅当时取等号,故选D.
【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式
【变式训练2】已知正实数满足,则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
因为
,故应填答案
四、迁移应用
1．若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，
所以，当且仅当，即时取等号．
2．若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】，，
.
3．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（
）
A．
B．=
C．<<
D．=
【答案】．A
【解析】设从甲地到乙地所走路程为，则．
∵
,∴
,∴．选A．
4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取
，此时，因此B不正确；对于C取，
此时，因此C不正确；对于D，∵，
∴，∴，D正确．
5.已知，且，则的最小值为
．
【答案】．
【解析】由，得，
所以，当且仅当，即时等号成立．
6.若，，则的最小值为___________．
【答案】．4
【解析】
，
当且仅当，且，即时取等号．
7．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要
使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
8．已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是
．
【答案】．
【解析】∵，∴
①当时，，
所以的最大值，即（舍去）
②当时，，此时命题成立．
③当时，，则
或，
解得或，
综上可得，实数的取值范围是．
9．已知函数在时取得最小值，则__．
【答案】．
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
10．若实数满足，则的最大值是____．
【答案】．
【解析】∵，
∴，即，∴，．
11．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是
(写出所有正确命题
的编号)．
①；
②；
③；
④；
⑤
【答案】．①③⑤
【解析】令，排除②④；由，
命题①正确；，
命题③正确；，命题⑤正确．
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