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线性规划中带有参数重难点突破
一、考情分析
线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．
经验分享
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．
(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.
(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．
三、题型分析
(一)
目标函数中含参数
例1．已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
【答案】4
；
【解析】由已知得到可行域如图：
可求出三个交点坐标A（3，2），B（-1,2）,C,
目标函数的最大值为11，
几何意义是直线截距的最大值为11,
由图得知,当过点A截距取得最大值,
故，解得=4。
【变式训练1】．（线性规划与基本不等式）设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图，
当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；
∴2a+b＝1，（2a+b）（）＝33+23+2．
故选D．
【变式训练2】．（2015山东）已知满足约束条件，若的最大值为4，则=
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【答案】B
【解析】
由得，借助图形可知：
当，即时在时有最大值0，不符合题意；
当，即时在时有最大值，
不满足；当，即时在时有最大值
，不满足；当，
即时在时有最大值，满足．
【变式训练3】．满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯
一，则实数的值为（
）
A．
B．
C．2或1
D．
【答案】D
【解析】解法一 由题中条件画出可行域，
可知三交点，，，则，，，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要或或，解得或．
解法二 目标函数可化为，令：，平移，则当
或时符合题意，故或．
(二)约束条件中含参数
例2．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，
由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，
此时直线为，
作出直线，交于A点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，
由，得，代入，得，
所以点C的坐标为．
等价于点与原点连线的斜率，
所以当点为点C时，取得最小值，最小值为。
【变式训练1】．若满足且的最小值为－4，则的值为
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】．D
【解析】作出线性约束条件，的可行域．当时，如图(1)所示，此时可行域为轴上方
直线的右上方、直线的右下方的区域，显然此时无最小值．当
时．取得最小值2；
当时，取得最小值2，均不符合题意，
当时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2，0)，B（，0），C(0，2)所围成的三角形区域，当直线经过点B（，0）时，有最小值，
即，所以得．故选D．
【变式训练2】．（线性目标函数y的系数为负值）已知，满足约束条件，若，若的最大值为4，则实数的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】B
【解析】由不等式组，画出可行域如下图所示：
线性目标函数，化为
画出目标函数可知，当在A点时取得z取得最大值
因为A（2，-2+m）
代入目标函数可得
解得m=3
所以选B。
(三)目标函数及约束条件中均含参数
例3．（2011湖南）设＞1，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（
）
A．（1，）
B．（，）
C．（1,3
）
D．（3，）
【答案】．A
【解析】
画出可行域，可知在点取最大值，
由解得．
【变式训练1】．设,满足约束条件且的最小值为7,则
（A）-5
（B）3
（C）-5或3
（D）5或-3
【答案】B
【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示,两直线交点坐标为：,又由题中可知,当时,z有最小值：,则,解得：；当时,z无最小值．故选B
(四)目标函数的几何意义
例4．设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【答案】D
【解析】由线性约束条件，画出可行域如下图
的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由可行域可知，当取点B时，与原点连线斜率最大，B（1，2），所以的最大值为，所以选D
【变式训练1】．（2020·江西省名师联盟高三调研（理））太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，
此时，圆心到直线的距离等于1，即，
解得的最大值为：，
当下移与圆相切时，取最小值，
同理，即的最小值为：，
所以．
【变式训练2】．（2020·四川省眉山市高三二诊（理））已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.
故选B。
【变式训练3】．（分式型目标函数求最值）设，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，
数形结合可知目标函数在点处取得最大值：，
目标函数在点处取得最小值：，
故目标函数的取值范围是.
故选B.
【变式训练4】．．（含绝对值的目标函数）若满足,则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当x≥y时，设z=x-y,由题得，
不等式组对应的可行域如图所示，
当直线z=x-y经过点B(2,-2)时，直线的纵截距-z最小，z最大，
此时z取最大值2-(-2)=4.
当x＜y时，设z=y-x,由题得，不等式组没有可行域，所以该情况不存在.
故选：A
四、迁移应用
1．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥?1，则3x+y的最大值为（
）
A．?7
B．1
C．5
D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C．
【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识?基本技能的考查.
2．【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大
为（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值.由，得，
所以.故选C.
3．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．
1
C．
10
D．
12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
4．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件
，则目标函数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，
当位于时，此时的斜率最小，此时．故选B．
【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5．（线性规划已知最值求参数）已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数____
【答案】
【解析】由已知作可行域如图所示，
化为，
平移直线
由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，
由，解得,
故答案为.
6.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（
）
A．2
B．4
C．3
D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
7.若，满足，则的最大值为（
）
A.0
B.3
C.4
D.5
【答案】C
8.若满足约束条件
则的最大值为_____________.
【答案】
9.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时,
取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
10.
已知实数满足
，则的取值范围是
▲
.
【答案】
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线性规划中带有参数重难点突破
一、考情分析
线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．
经验分享
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．
(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.
(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．
三、题型分析
(一)
目标函数中含参数
例1．已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
【变式训练1】．（线性规划与基本不等式）设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2015山东）已知满足约束条件，若的最大值为4，则=
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【变式训练3】．满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯
一，则实数的值为（
）
A．
B．
C．2或1
D．
(二)约束条件中含参数
例2．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
【变式训练1】．若满足且的最小值为－4，则的值为
A．2
B．-2
C．
D．
【变式训练2】．（线性目标函数y的系数为负值）已知，满足约束条件，若，若的最大值为4，则实数的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
(三)目标函数及约束条件中均含参数
例3．（2011湖南）设＞1，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（
）
A．（1，）
B．（，）
C．（1,3
）
D．（3，）
【变式训练1】．设,满足约束条件且的最小值为7,则
（A）-5
（B）3
（C）-5或3
（D）5或-3
(四)目标函数的几何意义
例4．设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【变式训练1】．（2020·江西省名师联盟高三调研（理））太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式训练2】．（2020·四川省眉山市高三二诊（理））已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（分式型目标函数求最值）设，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】．．（含绝对值的目标函数）若满足,则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥?1，则3x+y的最大值为（
）
A．?7
B．1
C．5
D．7
2．【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大
为（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
3．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．
1
C．
10
D．
12
4．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件
，则目标函数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（线性规划已知最值求参数）已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数____
6.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（
）
A．2
B．4
C．3
D．
7.若，满足，则的最大值为（
）
A.0
B.3
C.4
D.5
8.若满足约束条件
则的最大值为_____________.
9.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元．
10.
已知实数满足
，则的取值范围是
▲
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