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不等式的综合问题重难点突破
一、考情分析
不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析。
二、经验分享
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．学！科网
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
6．若,则（当且仅当时取“=”）．
7．一个重要的不等式链：．
8.
9．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
基本不等式
例1．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
【变式训练1】．已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【解析】，结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.即的最小值为.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
【变式训练2】．（双曲线与基本不等式）若实数满足，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，
则，
当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号
故的最大值为，
故答案为．
(二)
“1”的代换
例2．若正数满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【变式训练1】．（导数与几何意义与基本不等式）若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，
可得切线的斜率为3s2﹣4s，
切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，
解得s＝2，t＝2或s，t，
由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），
可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），
则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，
当且仅当nm时，取得最小值6+4，
故选C．
【变式训练2】．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】，，
.
(三)
恒成立问题
例3．（基本不等式与不等式恒成立）已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵，且
∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．
∵不等式恒成立?（）min≥a．
∴a∈（﹣∞，16]，即实数的最大值为16故答案为16．
【变式训练1】．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在轴的下方，故抛物线开口向下且和轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.
【变式训练2】．【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当
时,恒成立,则实数的取值范围是____________.
【分析】把不等式左边看作关于a的函数
【解析】设,则对成立等价于,即,解之得或,即实数的取值范围是.
四、迁移应用
1.（2020·北京市西城区高三一模）设为非零实数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，故，，故C正确；取，计算知ABD错误；
故选C。
2．（三角函数与基本不等式）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.又，
∴，
∴.
又∵在锐角中,
,∴，当且仅当时取等号，
∴，故选A.
3．（平面向量与基本不等式）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【答案】．
【解析】根据条件：,,又,.
又,,三点共线,.
,,.
的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.
4．（基本不等式与不等式恒成立）已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵，且
∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．
∵不等式恒成立?（）min≥a．
∴a∈（﹣∞，16]，即实数的最大值为16故答案为16．
5．（平面向量、三角函数与基本不等式）在中，、、分别是角、、的对边，若，，且，则的最大值是____________.
【答案】2
【解析】由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,即sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,又sinA≠0,所以cosA=,平方得,整理9=,即,当且仅当b=2c取等，解得2
故答案为2
6．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【答案】D
【解析】由线性约束条件，画出可行域如下图
的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由可行域可知，当取点B时，与原点连线斜率最大，B（1，2），所以的最大值为，所以选D。
7．【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故.故选D.
8．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，
在点或点处取得最小值，即.
题中的不等式即：，
则：恒成立，
原问题转化为求解函数的最小值，
整理函数的解析式有：
，
令，则，
令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，据此可得，当时，函数取得最大值，
则此时函数取得最小值，最小值为：.
综上可得，实数的最大值为.
9．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷】已知数列中，
，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据题意，数列中，
，即，则有，则有
，
，即，∵对于任意的，
，不等式恒成立，∴，化为：
，设，
，可得且，即有，即，可得或，则实数的取值范围是，故选A.
11．【宁夏大学附属中学2018届高三上学期第三次月考】若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
关于不等式在上有解，
所以在上有解，即在上有解，
设，所以恒成立，
所以函数在上单调递减函数，
所以函数的值域为，所以，故选A.[来源:Zxxk.Com]
12.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数、满足若不等式恒成立,则实数的最小值是
．
【答案】
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,因此,因为在上单调递增,所以,不等式恒成立等价于
13．已知a是实数,函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________．
若对满足条件的正实数都有恒成立,则实数a的取值范围为
.
【答案】
【解析】2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．当x＝0时,适合；当x≠0时,a<2－,因为∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),当x＝1时,右边取最小值,所以a<.综上,实数a的取值范围是.
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一、考情分析
不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析。
二、经验分享
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
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3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
6．若,则（当且仅当时取“=”）．
7．一个重要的不等式链：．
8.
9．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
基本不等式
例1．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【变式训练1】．已知，，且，则最小值为__________．
【变式训练2】．（双曲线与基本不等式）若实数满足，且，则的最大值为______.
(二)
“1”的代换
例2．若正数满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【变式训练1】．（导数与几何意义与基本不等式）若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是
A．
B．
C．5
D．6
(三)
恒成立问题
例3．（基本不等式与不等式恒成立）已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
【变式训练1】．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当
时,恒成立,则实数的取值范围是____________.
四、迁移应用
1.（2020·北京市西城区高三一模）设为非零实数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（三角函数与基本不等式）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（平面向量与基本不等式）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
4．（基本不等式与不等式恒成立）已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．
5．（平面向量、三角函数与基本不等式）在中，、、分别是角、、的对边，若，，且，则的最大值是____________.
6．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
7．【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
8．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
9．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷】已知数列中，
，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
11．【宁夏大学附属中学2018届高三上学期第三次月考】若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数、满足若不等式恒成立,则实数的最小值是
．
13．已知a是实数,函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________．
若对满足条件的正实数都有恒成立,则实数a的取值范围为
.
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