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第二章
数列单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
13
【答案】B
【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.
详解：根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.
2．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（
）
A.16
B.12
C.10
D.8
【答案】B
【解析】
分析：根据条件得到数列是公比
2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，和为，进而求出.
详解：每上层的数量是下层的2倍，得到数列是公比
2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，和为，则=
故答案为：B.
3.
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（
）
A．1
B．2017
C．-1
D．-2017
【答案】C
【解析】
由题意得：，，，…
当为偶数时，；当为奇数时，
本题正确选项：
4.
如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：
原点处标数字0，记,
；点处标数字1，记为；点处标数字0，记为；点处标数字，记为；点处标数字；记为；点处标数字，记为；点处标数字0,，记为；点处标数字1，记为；
以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（均为整数)，记，则（
）
A.
B.
0
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：首先根据题意，找出对应的点的关系，将点阵看做若干个正方形点阵来处理，并且根据点的坐标以及对项的规定，从而求得各层的正方形点阵的各项和为零，下一步需要确定的就是各层点阵的个数，以便于分析第2018个点的位置，建立关于n的合适的不等关系式，再者需要确定的是将比较多的值的和应用逆向思维，转化为比较少的项的和来处理，比较简单.
详解：根据题中所给的格点图，可以从正方形阵入手，从内向外，第一层正方形阵共有个点，即共有8项，第二层正方形阵有个点，第三层正方形阵有个点，以此类推下去，每层的正方形阵对应的点数成以8为首项，以8为公差的等差数列，并且各层的正方形阵所对应的项的和都为0，所以有，而，令，解得，且，所以，
再者可以确定这六个点的坐标分别是，
故可以得到，
从而可以求得这六项和为，所以答案是，故选D.
点睛：该题所考查的是数列的综合应用，一是将点阵看做正方形阵，找出每层的点的个数，再判断每层的点对应的项的和的值为零食解决该题的突破口，最后需要关注的就是将正方形阵补齐，将对应项的和转化为比较少项数的和的问题，并且最后一项对应的点的位置还比较好找，从而将难度降低.
5.已知函数，数列满足，且数列
是递增数列，则实数的取值范围是(
??
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，求解可得答案．
详解：根据题意，an=f（n）=，
要使{an}是递增数列，必有：
，
解得，4＜a＜8．
故选：B．
6.
已知数列满足(n∈N
),且对任意n∈N
都有,则实数t的取值范围为
( )
【答案】D
【解析】
因为数列满足,
所以n=1时,
,当n≥2时,
,可得:
,
所以当n=1时,也适合,
数列为等比数列,首项为,公比为
,所以
因为对任意n∈N
都有
,则t的取值范围为
7.已知等差数列满足，则前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
【答案】D
【解析】
为，所以.所以所以前12项之和为.
8．（2019·山东高考模拟（文））我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么
的值为（
）
A．41
B．45
C．369
D．321
【答案】C
【解析】
根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
，
，
，
．
故.
故选：C
9.已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
【答案】C
【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.
详解：当时，，
又当时，，
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，，
综上可得当时，，故选C.
点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.
10．【2018届福建省莆田第九中学高考模拟】等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时,的值为（
）
A．
23
B．
25
C．
23或24
D．
23或25
【答案】D
【解析】，
等差数列的公差，
且
则，且，
由，
知从到的值都大于零，时达到最大，
而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，
，之后越来越小，
所以数列的前项和取得最大值时,的值为，故选D.
11.
（2019·河南高考模拟（文））已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意，知，
当时，，当，所以，
又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列，，，，，构成首项为，公比为的等比数列，
由等比数列的前项和公式知，该数阵第行从左到右第个数为数列的第项，所以该数为，故选B.
12.设数列的前n项和为，且满足，，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
令，得，又，解得，，又，，所以，又，可求得，.所以
，
即，所以，即
，所以，因此，当时，；当时，.使成立的最小正整数n是6.
故选B.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的图象过点和点，若数列的前项和，数列的前项和为，则使得成立的最小正整数____________．
【答案】11
【解析】因为的图象过点和点，所以，解得，所以，．
当时，，
当时，，显然满足上式，所以．
故，显然数列是等差数列，所以，
令，即，解得（舍去）或，
所以使得成立的最小正整数．
14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】
分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
详解：设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
15.已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项
【答案】45
【解析】
，可得，且；
则，即，
，即，
两式相除得：，则，
由，解得；
由，解得；
猜想，
用数学归纳法证明，
当时，，满足，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，满足，
故猜想成立，即.
，时，，
当，不满足，
故，
由，
当时，，
当时，，
当时，．
综上可得数列中最接近2019的是第45项．
故答案为：45．
16.在数列中，若
(，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：
①若是等方差数列，则是等差数列；
②是等方差数列；
③若是等方差数列，则
(，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为
__________(写出所有正确命题的序号).
【答案】①②③
【解析】分析：根据等方差数列的定义①{an}是等方差数列，则an2-an-12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证akn+12-akn2是一个常数.
详解：①∵是等方差数列,∴(p为常数)得到为首项是，公差为p的等差数列；
∴{}是等差数列；
②数列中,，
∴是等方差数列；故②正确；
③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…
数列中的项列举出来是,,…,，…，
∵，
∴.
∴
∴
(k∈N?,k为常数)是等方差数列；故③正确；
故答案为：①②③.
点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；
（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.已知数列满足，，设.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
.
【解析】分析：（1）由，可知，从而得到数列的通项公式；（2），利用错位相加法求出数列的前项和.
详解：(Ⅰ)由,得，代入得
，即，
所以数列是公差为3的等差数列，
又，所以，即，所以，
所以.
(Ⅱ)
由得，
所以，
，
两式相减得
所以.
18.已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）由与的关系，求出数列的通项公式；（2）由，利用累加法得到，从而＝，利用裂项相消法求和即可.
详解：（1）因为，且，
所以，所以．
所以
…①，
当时，有
…②，
①、②两式作差得，
所以，
因为，所以，又因为，所以．
（2）因为，，所以，，
所以当时，，
＝＝．
又也适合上式，所以．
所以＝＝，
所以＝＝，
＝．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2）
；
（3）；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
19.已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
(1)求数列和的通项公式；
(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；
(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．
【解析】试题分析：(1)由题意，易知数列为等差数列，求出，再由通项公式与前和关系，从而求出数列的通项公式；由条件，易知数列为等差数列，再由等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式；
(2)由(1)可得与，根据题意，可对进行分类，求得该数列前项和与参数的表达式，从而问题可得解.
(3)由(1)易得数列的通项公式，由等差数列的中项公式及数列通项公式的性质，从而得到其下标的关系式，针对所得式子进行化简整理，并对其进行分类讨论，从而问题可得解，详见解析.
试题解析：
(1)因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即，
当时，，又因为，所以.-
又因为，于是数列是等差数列，
设的前项和为，由于，则，由于，
所以．
(2)数列的前n项和，数列的前项和．
当时，；
当时，
；-
当时，
；-
所以，其中．--
(3)由(1)可知，.
若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，--
于是，
所以
，即，--
则对任意的，能整除，且.
由于当时，中存在多个质数，
所以只能取1或或--
若，则，，于是
，符合；-
若，则，矛盾，舍去；-
若，则，于是，矛盾．
综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．
20.
已知是数列的前项和，且
（1）求证：数列为等比数列
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）
①
②
①②可得：
即
为的等比数列
（2）思路：若要求和，需要先求出的通项公式.所以先利用（1）构造等比数列求出，从而得到，对于，处理方式既可以将进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和
解：由（1）可得：
令代入
方法一：直接求和
设
方法二：分组求和
当为偶数时
当为奇数时
点睛：本题在分组求和时要注意以下几点
（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组.所以要对项数进行奇偶的分类讨论
（2）在项数为偶数的求和过程中要注意的取值变化不再是，而是所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变.
（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程.
（4）本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂.
方法三：分奇数项偶数项分别求和
当为偶数时：
同理：当为奇数时
21.已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
;(3)
.
【解析】分析：（1）可得
，两式相减，可化为
且
，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可得结果；(2)算出数列的前三项，利用等比中项的性质列方程，可求得的值；(3)由，利用裂项相消法即可求得，于是，从而可得结果.
详解：（1）
且
数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由得，
因为数列为等比数列，所以，
解得.
(3)由（2）知
所以
，
所以，
解得.
22.若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“
数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“
数列”；
（2）若公差为的等差数列为“
数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“
数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出an＝4n－2，再利用“
数列”证明.(2)利用“
数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{an}为等差数列，再转化an＜a－a＜an＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.
详解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2．
所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{an}的第n＋1项，
因此数列{an}为“T
数列”．
（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，
所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1)
d＋|d|．
因为数列{an}为“T
数列”，
所以任意n∈N
，存在m∈N
，使得a1＋(n－1)
d＋|d|＝am，即有(m－n)
d＝|d|．
①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N
，使得(m－n)
d＝|d|，
②若d＜0，则m＝n－1．
此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．
综上，d≥0．
（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．
又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，
所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
设数列{an}的公差为t(t＞0)，则有an＝1＋(n－1)t，
由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，
整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，
①
n(t－2t2)＞2t－t2－1．
②
若2t2－t＜0，取正整数N0＞，
则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t)
N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N
恒成立相矛盾，
因此2t2－t≥0．
同样根据②式可得t－2t2≥0，
所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．
经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N
恒成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋
(n－1)＝．
点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力.
(2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，
①
，n(t－2t2)＞2t－t2－1，
②
后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.
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精品试卷·第
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第二章
数列单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
13
2．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（
）
A.16
B.12
C.10
D.8
3.
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（
）
A．1
B．2017
C．-1
D．-2017
4.
如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：
原点处标数字0，记,
；点处标数字1，记为；点处标数字0，记为；点处标数字，记为；点处标数字；记为；点处标数字，记为；点处标数字0,，记为；点处标数字1，记为；
以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（均为整数)，记，则（
）
A.
B.
0
C.
D.
5.已知函数，数列满足，且数列
是递增数列，则实数的取值范围是(
??
)
A.
B.
C.
D.
6.
已知数列满足(n∈N
),且对任意n∈N
都有,则实数t的取值范围为
( )
7.已知等差数列满足，则前12项之和为（
）
A．
B．80
C．144
D．304
8．（2019·山东高考模拟（文））我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么
的值为（
）
A．41
B．45
C．369
D．321
9.已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
10．【2018届福建省莆田第九中学高考模拟】等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时,的值为（
）
A．
23
B．
25
C．
23或24
D．
23或25
11.
（2019·河南高考模拟（文））已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（
）.
A．
B．
C．
D．
12.设数列的前n项和为，且满足，，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的图象过点和点，若数列的前项和，数列的前项和为，则使得成立的最小正整数____________．
14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
15.已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项
16.在数列中，若
(，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：
①若是等方差数列，则是等差数列；
②是等方差数列；
③若是等方差数列，则
(，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为
__________(写出所有正确命题的序号).
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.已知数列满足，，设.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和．
19.已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
(1)求数列和的通项公式；
(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；
(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．
20.
已知是数列的前项和，且
（1）求证：数列为等比数列
（2）设，求数列的前项和
21.已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.
22.若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“
数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“
数列”；
（2）若公差为的等差数列为“
数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“
数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
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精品试卷·第
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