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第二章
数列单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，解得：
本题正确选项：
2．已知数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为（
）
A．14
B．13或14
C．12或11
D．13或12
【答案】D
【解析】
因为，所以数列是以为首项，公差的等差数列，
所以
由二次函数的性质可得：当或时，最大
故选：D
3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:
五人各得几何?”其意思为:
有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（
）
A.
15
B.
16
C.
18
D.
21
【答案】C
【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.
详解：设第一个人分到的橘子个数为，
由题意得，解得，
则，故选C.
点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.
4．在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出，
，由此能求出时，
的最小值．
详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值
∴公差，首项，
为递增数列
∵
∴，
由等差数列的性质知：
，
.
∵
∴当时，
的最小值为16．
故选C.
点睛：本题考查等差数列的前项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据，
，确定时，
的最小值.
5．已知数列的首项，且满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.
详解：因为，所以
；
因此，
因为，
所以当时，取最小值，选C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
6.在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出，
，由此能求出时，
的最小值．
详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值
∴公差，首项，
为递增数列
∵
∴，
由等差数列的性质知：
，
.
∵
∴当时，
的最小值为16．
故选C.
7．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
【答案】D
【解析】因为，是方程的两根，
所以，
又，所以，
，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
8.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】由知，由知.则.故选D.
9.等差数列的各项均不为零，其前项和为，若，则
（
）
A．
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】设各项均不为零的等差数列的公差为，因为，所以，解得，，所以，所以.
故选D.
10.已知等比数列中，，，且，则的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．故的取值范围是．故选D．
11.
中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把斤绵分给个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多斤绵，那么第个儿子分到的绵是（
）
A.
斤
B.
斤
C.
斤
D.
斤
【答案】.B
【解析】用，，…，表示个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列，，…，是公差为的等差数列，且这项的和为，所以，
解得．所以．故选B．
12．如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．
【答案】361
【解析】
解法一：根据杨辉三角形的生成过程，
当为偶数时，，
当为奇数时，，，，
，，，，
解法二：当时，，
当时，，
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，
所以．
14．数列中，，且，则数列前2019项和为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：∵，
∴，
整理得：，
∴，又，
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选：B．
15．在数列中，，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为
所以，
,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.
16.已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的N，总有成立，则实数的取值范围为________.
【答案】.
【解析】令，得；令，可得；令，可得.解得，所以.由对任意N恒成立，得对任意N恒成立，又.所以实数的取值范围为.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.在等差数列中，已知,.
（I）求数列的通项公式；
（II）求.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）因为是等差数列，,所以
解得.则,.
（II）
构成首项为,公差为的等差数列.
则
18．在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1），（2）整数的最小值是11.
【解析】
（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，
又，所以，从而.
（Ⅱ）因为，所以
，
当时，
①
②
①-②可得，，即，
而也满足，故.
令，则，即，
因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.
19.已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（II），
，
两式相减得，
所以.
所以.
20．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（I）求数列与的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由，，
则，
设等差数列的公差为，则，所以.
所以.
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以；
（II），
所以的前项和为
.
21．已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（II），
，
两式相减得，
所以.
所以.
【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．
22．已知数列满足：，，数列中，，且，，成
等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I），
∴数列是公差为1的等差数列；
（II）由题意可得，即，所以，所以，
∴，∴，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为（
）
A．14
B．13或14
C．12或11
D．13或12
3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:
五人各得几何?”其意思为:
有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（
）
A.
15
B.
16
C.
18
D.
21
4．在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
5．已知数列的首项，且满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
6.在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
7．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
8.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为
（
）
A.
B.
C.
D.
9.等差数列的各项均不为零，其前项和为，若，则
（
）
A．
B.
C.
D.
10.已知等比数列中，，，且，则的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
11.
中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把斤绵分给个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多斤绵，那么第个儿子分到的绵是（
）
A.
斤
B.
斤
C.
斤
D.
斤
12．如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
14．数列中，，且，则数列前2019项和为
A．
B．
C．
D．
15．在数列中，，则的值为______．
16.已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的N，总有成立，则实数的取值范围为________.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.在等差数列中，已知,.
（I）求数列的通项公式；
（II）求.
18．在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
19.已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
20．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（I）求数列与的通项公式；
（II）求数列的前项和．
21．已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
22．已知数列满足：，，数列中，，且，，成
等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
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